2004-北京卷文-18 解-抽象函数与数列极限

本题导读

本题考查抽象函数与数列极限。核心在于由递推关系 $f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 求值并归纳，再求矩形面积和的极限。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 函数 $f(x)$ 是定义在 $[0,1]$ 上的增函数，满足 $f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 且 $f(1)=1$，在每个区间 $\left(\frac{1}{2^i},\frac{1}{2^{i-1}}\right]$（$i=1,2,\cdots$）上，$y=f(x)$ 的图象都是斜率为同一常数 $k$ 的直线的一部分.

(1) 求 $f(0)$ 及 $f\left(\frac{1}{2}\right)$，$f\left(\frac{1}{4}\right)$ 的值，并归纳出 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)$（$i=1,2,\cdots$）的表达式；

(2) 设直线 $x=\frac{1}{2^i}$，$x=\frac{1}{2^{i-1}}$，$x$ 轴及 $y=f(x)$ 的图象围成的矩形的面积为 $a_i$（$i=1,2,\cdots$），求 $a_1$，$a_2$ 及 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+a_2+\cdots +a_n)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(0)=2f(0)\Rightarrow f(0)=0$。
2. $f(1)=2f\left(\frac{1}{2}\right)=1$，递推求各值。
3. 矩形面积 $a_i$ 求和化等比数列求极限。

✅【答案】

Success

(1) $f(0)=0$，$f\left(\frac{1}{2^i}\right)=\frac{1}{2^i}$

(2) $a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=\frac{1}{8}$，极限 $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f(0)=2f(0)$ 得 $f(0)=0$.由 $f(1)=2f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ 得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.再由 $f\left(\frac{1}{2}\right)=2f\left(\frac{1}{4}\right)$ 得 $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$.依此类推，归纳得 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)=\frac{1}{2^i}$（$i=1,2,\cdots$）． （2）要使每个区间上的图象与两条竖直边、$x$ 轴围成矩形，图象必须是水平线段，故公共斜率 $k=0$.在 $\frac{1}{2^i}<x⩽\frac{1}{2^{i-1}}$ 上，$f(x)=f\left(\frac{1}{2^{i-1}}\right)=\frac{1}{2^{i-1}}$.矩形的宽为 $\frac{1}{2^{i-1}}-\frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^i}$，故 $a_i=\frac{1}{2^{i-1}}\cdot \frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^{2i-1}}$.于是 $a_1=\frac{1}{2}$，$a_2=\frac{1}{8}$，且 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+\cdots +a_n)=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抽象函数与数列极限
2. 核心方法：（1）$f(0)=2f(0)\Rightarrow f(0)=0$；$f(1)=2f\left(\frac{1}{2}\right)=1\Rightarrow f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$；$f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$；归纳 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)=\frac{1}{2^i}$；（2）各区间图象为水平线（斜率 $k=0$），$a_i=\frac{1}{2^{i-1}}\cdot \frac{1}{2^i}=\frac{1}{2^{2i-1}}$；$a_1=\frac{1}{2},a_2=\frac{1}{8}$；${\lim }_{n\to \infty }\sum =\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}$
3. 避坑指南：$f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 递推求 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)=\frac{1}{2^i}$；矩形面积为相邻分点间距 $\times$ 函数值；公比 $\frac{1}{4}$ 等比求和

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抽象函数与极限，教材”函数”与”数列极限”
2. 结论推广: 一般化：$f(x)=2f\left(\frac{x}{2}\right)$ 递推求 $f\left(\frac{1}{2^i}\right)$，矩形面积求和化等比；矩形面积为宽 $\times$ 高，宽是相邻分点间距 $\frac{1}{2^i}$，和为公比 $\frac{1}{4}$ 等比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-09 填-数列极限
• 2006-广东卷-19 解-无穷等比数列与数列极限
• 2011-上海卷文-02 填-数列极限