2003-北京文-08 单-分段等比数列极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及无穷等比数列的求和。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=\frac{3^{-n}+(-1{)}^n\cdot 3^{-n}}{2}$，$n=1,2,\cdots$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }(a_1+a_2+\cdots +a_n)$ 等于()

A. $\frac{1}{24}$　　　　　　B. $\frac{1}{8}$　　　　　　C. $\frac{1}{6}$　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分奇偶：$n$ 为奇数时 $a_n=0$；$n$ 为偶数时 $a_n=3^{-n}$。
2. 奇数项全为零，偶数项是首项 $3^{-2}$、公比 $3^{-2}$ 的等比数列，求无穷和。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

当 $n$ 为奇数时，$3^{-n}+(-1{)}^n\cdot 3^{-n}=0$，$a_n=0$；当 $n$ 为偶数时，$a_n=3^{-n}$.于是 $a_1+a_2+\cdots +a_n=3^{-2}+3^{-4}+\cdots$，这是首项为 $\frac{1}{9}$、公比为 $\frac{1}{9}$ 的无穷等比数列，其和为 $\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}$，故极限为 $\frac{1}{8}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段等比数列极限
2. 核心方法：$a_n=\frac{3^{-n}+(-1{)}^n\cdot 3^{-n}}{2}$：$n$ 为奇数时 $a_n=0$，$n$ 为偶数时 $a_n=3^{-n}$，故 $\sum a_n=3^{-2}+3^{-4}+\cdots =\frac{1/9}{1-1/9}=\frac{1}{8}$
3. 避坑指南：含 $(-1{)}^n$ 的通项先分奇偶化简，再按等比数列求和

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材数列的极限
2. 结论推广: 一般地，含 $(-1{)}^n$ 的数列先分奇偶求出各段再求和取极限；奇偶分项化归为等比数列求和

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-18 解-抽象函数与数列极限
• 2004-上海卷文-04 填-等比数列极限
• 2006-上海文-04 填-有理式数列极限