2001-上海文-06 填-等比数列极限与首项范围

本题导读

本题考查等比数列的极限，以及首项范围的确定。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 是公比 $q>0$ 的等比数列，$S_n$ 是它的前 $n$ 项和.$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=7$，则此数列的首项 $a_1$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 极限存在需 $0<q<1$。
2. $S=\frac{a_1}{1-q}=7$，由 $0<q<1$ 定 $a_1$ 范围。

✅【答案】

Success

$(0,7)$

✍【详细解析】

Abstract

无穷等比数列前 $n$ 项和的极限存在，需 $|q|<1$，又 $q>0$，故 $0<q<1$．此时 $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}=7$，即 $a_1=7(1-q)$．由 $0<q<1$ 得 $0<1-q<1$，故 $0<a_1<7$，即 $a_1\in (0,7)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列极限与首项范围

核心方法：$\lim S_n=\frac{a_1}{1-q}=7$（$0<q<1$），$a_1=7(1-q)$，$0<q<1$ 时 $0<a_1<7$

避坑指南：等比无穷和 $S=\frac{a_1}{1-q}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材等比数列的极限

结论推广：一般地，$|q|<1$ 时无穷等比数列和 $S=\frac{a_1}{1-q}$

方法推广：无穷和公式定范围

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷文-04 填-等比数列极限
• 2003-北京文-08 单-分段等比数列极限