2006-上海文-04 填-有理式数列极限

本题导读

本题考查数列的极限，以及有理式的极限。

📌【题干】

Question

（2006年上海卷(文)） 计算：$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n^2+1)}{6n^3+1}=$ $\underline{}$。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子、分母均为关于 $n$ 的三次式。
2. 分子分母同除以 $n^3$：$\frac{1+\frac{1}{n^2}}{6+\frac{1}{n^3}}$。
3. 令 $n\to \infty$，得 $\frac{1}{6}$。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n^2+1)}{6n^3+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3+n}{6n^3+1}$ $=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{n^2}}{6+\frac{1}{n^3}}=\frac{1+0}{6+0}=\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：有理式数列极限

核心方法：分子分母同除最高次项

避坑指南：$\frac{n(n^2+1)}{6n^3+1}$ 分子分母同除 $n^3$ 得 $\frac{1}{6}$；别把分子 $n^3+n$ 与分母 $6n^3$ 的次数搞错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 数列极限，基础计算题

结论推广: 有理式极限分子分母同除最高次项

方法推广: $\lim \frac{P(n)}{Q(n)}$ 由最高次项系数比决定，次数相同取系数比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2013-上海卷理-01 填-无穷数列极限运算