2006-广东卷-19 解-无穷等比数列与数列极限

本题导读

(1) $\frac{a_1}{1-q}=9$、$\frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{81}{5}$，解得 $q=\frac{2}{3}$、$a_1=3$。(2) $a_2=a_{1}q=2$，$T(2)$ 首项 $2$、公差 $2a_2-1=3$，前 $10$ 项和 $=5(4+27)=155$。(3) $b_i=(2i-1)a_i-(i-1)$，$S_n=45-(18n+45){\left(\frac{2}{3}\right)}^n-\frac{n(n-1)}{2}$，$\frac{S_n}{n^2}\to -\frac{1}{2}$，故 $m=2$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 已知公比为 $q$（$0<q<1$）的无穷等比数列 $\{a_n\}$ 各项的和为 $9$，无穷等比数列 $\{a_n^2\}$ 各项的和为 $\frac{81}{5}$。

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1$ 和公比 $q$；

(2) 对给定的 $k$（$k=1,2,3,\cdots ,n$），设 $T(k)$ 是首项为 $a_k$、公差为 $2a_k-1$ 的等差数列，求 $T(2)$ 的前 $10$ 项之和；

(3) 设 $b_i$ 为数列 $T(i)$ 的第 $i$ 项，$S_n=b_1+b_2+\cdots +b_n$，求 $S_n$，并求正整数 $m$（$m>1$），使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{S_n}{n^m}$ 存在且不等于零.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 无穷等比数列 $\{a_n\}$ 和 $\{a_n^2\}$ 的和分别为 $\frac{a_1}{1-q}=9$、$\frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{81}{5}$。由第一式 $a_1=9(1-q)$，代入第二式化简得 $\frac{1-q}{1+q}=\frac{1}{5}$，解得 $q=\frac{2}{3}$，$a_1=3$。
2. (2) $a_2=a_{1}q=2$，$T(2)$ 首项 $2$、公差 $2a_2-1=3$，前 $10$ 项和 $S_{10}=\frac{10}{2}[2a_2+9\times 3]=5(4+27)=155$。
3. (3) $a_i=3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{i-1}$，$b_i=a_i+(i-1)(2a_i-1)=(2i-1)a_i-(i-1)=3(2i-1){\left(\frac{2}{3}\right)}^{i-1}-(i-1)$。
4. 令 $r=\frac{2}{3}$，$\sum (2i-1)r^{i-1}=2\sum i{r}^{i-1}-\sum r^{i-1}=15-(6n+15)r^n$（对 $\sum r^{i-1}$ 求导），故 $S_n=3[15-(6n+15)r^n]-\frac{n(n-1)}{2}=45-(18n+45){\left(\frac{2}{3}\right)}^n-\frac{n(n-1)}{2}$。
5. $\frac{S_n}{n^2}\to -\frac{1}{2}$，而 $m>2$ 时 $\frac{S_n}{n^m}\to 0$，故 $m=2$。

✅【答案】

Success

(1) $a_1=3$，$q=\frac{2}{3}$

(2) $155$

(3) $S_n=45-(18n+45){\left(\frac{2}{3}\right)}^n-\frac{n(n-1)}{2}$，$m=2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由无穷等比数列求和公式， $\frac{a_1}{1-q}=9,\frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{81}{5}.$ 由第一式得 $a_1=9(1-q)$，代入第二式： $\frac{81(1-q{)}^2}{(1-q)(1+q)}=\frac{81}{5}⟺\frac{1-q}{1+q}=\frac{1}{5},$ 解得 $q=\frac{2}{3}$，从而 $a_1=3$．

（2）$a_2=a_{1}q=2$，$T(2)$ 的公差为 $2a_2-1=3$，故前 $10$ 项和 $S_{10}=\frac{10}{2}[2a_2+(10-1)\times 3]=5(4+27)=155.$

（3）$a_i=3{\left(\frac{2}{3}\right)}^{i-1}$，等差数列 $T(i)$ 的第 $i$ 项为 $b_i=a_i+(i-1)(2a_i-1)=(2i-1)a_i-(i-1)=3(2i-1){\left(\frac{2}{3}\right)}^{i-1}-(i-1).$ 令 $r=\frac{2}{3}$，由有限等比数列求和 $\sum _{i=1}^n{r}^{i-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$，两边对 $r$ 求导得 ${\sum }_{i=1}^{n}i{r}^{i-1}=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}.$ 因而 ${\sum }_{i=1}^n(2i-1)r^{i-1}=2{\sum }_{i=1}^{n}i{r}^{i-1}-{\sum }_{i=1}^n{r}^{i-1}=15-(6n+15)r^n.$ 故 $S_n=3[15-(6n+15)r^n]-\frac{n(n-1)}{2}=45-(18n+45){\left(\frac{2}{3}\right)}^n-\frac{n(n-1)}{2}.$ 当 $n\to \infty$ 时 $(18n+45){\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$，故 $\frac{S_n}{n^2}\to -\frac{1}{2}$；而 $m>2$ 时 $\frac{S_n}{n^m}\to 0$，所以满足条件的正整数 $m>1$ 只有 $m=2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：无穷等比数列与数列极限

核心方法：(1) $\frac{a_1}{1-q}=9,\frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{81}{5}$ 解得 $q=\frac{2}{3},a_1=3$；(2) $T(2)$ 首项 2 公差 3，$S_{10}=155$；(3) $S_n=45-(18n+45)(\frac{2}{3}{)}^n-\frac{n(n-1)}{2}$，$m=2$

避坑指南：等比平方 $\{a_n^2\}$ 公比 $q^2$；$b_i$ 含 $a_i$ 与 $-(i-1)$ 两部分，前者错位/求导求和，后者等差和

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 无穷等比数列求和与数列极限

结论推广: $\sum =\frac{a_1}{1-q}$；$S_n$ 除以 $n^2$ 求极限定 $m$

方法推广: 无穷等比和公式要求 $|q|<1$；$\{a_n^2\}$ 公比为 $q^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2007-山东卷理-17 解-等比数列前 n 项公式
• 2007-陕西文-20 解-等比数列通项与求和