2002-北京卷文-22 解-抽象函数性质

本题导读

本题考查抽象函数的性质。核心在于赋值法求值与判定奇偶性。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的不恒为零的函数，且对于任意的 $a,b\in \mathbf{R}$ 都满足：$f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$.

(1) 求 $f(0)$，$f(1)$ 的值；

(2) 判断 $f(x)$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(3) 若 $f(2)=2$，$u_n=f(2^n)$（$n\in \mathbb{N}$），求证 $u_{n+1}>u_n$（$n\in \mathbb{N}$）.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 赋值 $a=b=0$、$a=b=1$ 求值。
2. 取 $b=-1$ 判奇偶。
3. 归纳证 $f(2^n)=n\cdot 2^n$ 得 $u_n$ 单调。

✅【答案】

Success

(1) $f(0)=0$，$f(1)=0$

(2) $f(x)$ 为奇函数

(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $a=b=0$ 得 $f(0)=0$；取 $a=b=1$ 得 $f(1)=2f(1)$，故 $f(1)=0$． (2) 取 $a=x$、$b=-1$ 得 $f(-x)=-f(x)+xf(-1)$．又取 $a=b=-1$ 得 $f(1)=-2f(-1)$，而 $f(1)=0$，故 $f(-1)=0$，于是 $f(-x)=-f(x)$，$f(x)$ 为奇函数． (3) 归纳证明 $f(2^n)=n\cdot 2^n$：$n=1$ 时 $f(2)=2$ 成立；设 $f(2^n)=n\cdot 2^n$，则 $f(2^{n+1})=f(2\cdot 2^n)=2f(2^n)+2^{n}f(2)=2n\cdot 2^n+2^{n+1}=(n+1)\cdot 2^{n+1}$．故 $u_n=f(2^n)=n\cdot 2^n$，$u_{n+1}=(n+1)\cdot 2^{n+1}>n\cdot 2^n=u_n$，得证．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抽象函数性质

核心方法：$f(0)=f(1)=0$；由 $f(a\cdot b)=af(b)+bf(a)$ 取 $b=-1$ 得 $f$ 为奇函数；$u_{n+1}>u_n$ 由递推证

避坑指南：抽象函数赋值求值与奇偶性判定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材抽象函数

结论推广：一般地，抽象函数赋值求值与奇偶性判定

方法推广：赋值法代特殊值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京文-20 解-抽象函数绝对值不等式
• 2004-北京卷文-18 解-抽象函数与数列极限
• 2008-陕西文-11 单-抽象函数赋值求值