2005-北京春文-09 填-数列极限

本题导读

本题考查数列极限，以及同除最高次项取极限。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^2}{2n^2-3}=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子分母同除 $n^2$：$\frac{1}{2-\frac{3}{n^2}}$。
2. $n\to \infty$ 时 $\frac{3}{n^2}\to 0$，极限为 $\frac{1}{2}$。

✅【答案】

Success

$12$

✍【详细解析】

Abstract

分子、分母同除以 $n^2$，得 $\frac{n^2}{2n^2-3}=\frac{1}{2-\frac{3}{n^2}}$．当 $n\to \infty$ 时，$\frac{3}{n^2}\to 0$，所以原极限为 $\frac{1}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列极限

核心方法：同除最高次项取极限

避坑指南：$\frac{n^2}{2n^2-3}=\frac{1}{2-\frac{3}{n^2}}\to \frac{1}{2}$；分母 $2n^2-3$ 首项是 $2$，别看成 $1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列的极限（旧课标内容，新课标已删）

结论推广：$\frac{a_0{n}^k+\cdots }{b_0{n}^k+\cdots }\to \frac{a_0}{b_0}$；同次式比看最高次系数

方法推广：有理式极限同除最高次项，逐项趋于零后读系数比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 1982-全国理-09 解-递推数列的通项与极限