2004-全国卷III文-07 单-复数辐角与平方

本题导读

本题考查复数的三角形式，以及复数平方的运算。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(文)） 设复数 $z$ 的辐角的主值为 $\frac{2\pi }{3}$，虚部为 $\sqrt{3}$，则 $z^2=$()

A. $-2-2\sqrt{3}i$　　　　B. $-2\sqrt{3}-2i$　　　　C. $2+2\sqrt{3}i$　　　　D. $2\sqrt{3}+2i$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 虚部 $\sqrt{3}=r\sin \frac{2\pi }{3}=r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$，得 $r=2$。
2. $z=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-1+\sqrt{3}i$。
3. $z^2=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)=-2-2\sqrt{3}i$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=r\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$，虚部 $\sqrt{3}=r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $r=2$，$z=-1+\sqrt{3}i$.由棣莫弗公式 $z^2=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)=4\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-2-2\sqrt{3}i$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数辐角与平方
2. 核心方法：$z$ 辐角主值 $\frac{2\pi }{3}$、虚部 $\sqrt{3}$，故 $z=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)=-1+\sqrt{3}i$；$z^2=4\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)=-2-2\sqrt{3}i$
3. 避坑指南：虚部 $\sqrt{3}=r\sin \frac{2\pi }{3}=r\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $r=2$；平方用模平方、辐角加倍

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于复数的三角形式，教材”复数”
2. 结论推广: 一般化：$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ 时 $z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$；由虚部与辐角反解模 $r$，再用棣莫弗公式平方

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-18 解-复数方程
• 2006-广东卷-02 单-复数方程求幂
• 2006-广东卷-10 单-复数新定义运算