2005-上海卷文-18 解-复数方程

本题导读

本题考查在复数范围内解方程，核心在于利用 $z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$ 与 $|z{|}^2=z\bar{z}$ 把方程按实虚部拆开。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 在复数范围内解方程 ${\left|z\right|}^2+\left(z+\bar{z}\right)\mathbf{i}=\frac{3-\mathbf{i}}{2+\mathbf{i}}$．（$\mathbf{i}$ 为虚数单位）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 右端实数化：$\frac{(3-\mathbf{i})(2-\mathbf{i})}{5}=\frac{5-5\mathbf{i}}{5}=1-\mathbf{i}$。
2. 设 $z=a+b\mathbf{i}$：$z+\bar{z}=2a$，$|z{|}^2=a^2+b^2$，方程为 $a^2+b^2+2a\mathbf{i}=1-\mathbf{i}$。
3. 实虚部分别相等：$2a=-1$，$a^2+b^2=1$，解得 $a=-\frac{1}{2}$，$b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

Success

$z=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i}$．

✍【详细解析】

Abstract

先化简右端：$\frac{3-\mathbf{i}}{2+\mathbf{i}}=\frac{(3-\mathbf{i})(2-\mathbf{i})}{(2+\mathbf{i})(2-\mathbf{i})}=\frac{6-3\mathbf{i}-2\mathbf{i}-1}{5}=\frac{5-5\mathbf{i}}{5}=1-\mathbf{i}$． 设 $z=a+b\mathbf{i}$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $z+\bar{z}=2a$，$|z{|}^2=a^2+b^2$，原方程化为 $a^2+b^2+2a\mathbf{i}=1-\mathbf{i}$． 由复数相等的条件：$\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=1,\\ 2a=-1,\end{array}$ 解得 $a=-\frac{1}{2}$，$b^2=\frac{3}{4}$，$b=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$． 故 $z=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数方程

核心方法：设 $z=a+b\mathbf{i}$，由 $z+\bar{z}=2a$ 拆实虚部，右端先化简为 $1-\mathbf{i}$

避坑指南：$\frac{3-\mathbf{i}}{2+\mathbf{i}}$ 先分母实数化；$|z{|}^2$ 是实数、$(z+\bar{z})\mathbf{i}$ 是纯虚数，两边实虚部分别相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数方程 $|z{|}^2+(z+\bar{z})\mathbf{i}=c$ 型是复数章综合

结论推广：$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z$、$|z{|}^2=z\bar{z}$ 两条基本性质联立

方法推广：复数相等条件：实虚部分别相等

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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