2001-大纲文-05 单-复数的辐角

本题导读

本题考查复数的辐角，以及 $\arg \frac{1}{z}$ 与 $\arg z$ 的关系。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 已知复数 $z=\sqrt{2}+\sqrt{6}i$，则 $\arg \frac{1}{z}$ 是()

A. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　D. $\frac{11\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z$ 在第一象限，$\tan \arg z=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$。
2. $\arg \frac{1}{z}=-\arg z$，取主值范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

复数 $z=\sqrt{2}+\sqrt{6}i$ 位于第一象限，$\tan \arg z=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，故 $\arg z=\frac{\pi }{3}$．于是 $\arg \frac{1}{z}=-\arg z=-\frac{\pi }{3}$，在 $[0,2\pi )$ 内取主值为 $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角

核心方法：$z=\sqrt{2}+\sqrt{6}i$，$\tan \arg z=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，$\arg z=\frac{\pi }{3}$，故 $\arg \frac{1}{z}=-\frac{\pi }{3}\equiv \frac{5\pi }{3}$

避坑指南：$\arg (1/z)=-\arg z$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的辐角

结论推广：一般地，$\arg \frac{1}{z}=-\arg z$

方法推广：由 $\tan$ 定辐角再取负

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-07 单-复数辐角与平方
• 2003-大纲文-18 解-复数模的等比中项