2001-新课标理-13 填-复数的辐角

本题导读

本题考查复数的辐角，以及 $\arg \frac{1}{z}$ 与 $\arg z$ 的关系。

📌【题干】

Question

（2001年新课标卷(理)） 若复数 $z=\sqrt{2}+\sqrt{6}i$，则 $\arg \frac{1}{z}$ 等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $z$ 在第一象限，$\tan \arg z=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$。
2. $\arg \frac{1}{z}=-\arg z$，取主值。

✅【答案】

Success

$\frac{5\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

复数 $z=\sqrt{2}+\sqrt{6}i$ 位于第一象限，$\tan \arg z=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，故 $\arg z=\frac{\pi }{3}$．于是 $\arg \frac{1}{z}=-\arg z=-\frac{\pi }{3}$，在 $[0,2\pi )$ 内取主值为 $-\frac{\pi }{3}+2\pi =\frac{5\pi }{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的辐角

核心方法：$\tan \arg z=\sqrt{3}$，$\arg z=\frac{\pi }{3}$，$\arg \frac{1}{z}=-\frac{\pi }{3}\equiv \frac{5\pi }{3}$

避坑指南：$\arg (1/z)=-\arg z$ 取主值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复数的辐角

结论推广：一般地，$\arg \frac{1}{z}=-\arg z$（mod $2\pi$）

方法推广：辐角取负定主值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-05 单-复数的辐角
• 2004-全国卷III文-07 单-复数辐角与平方
• 2002-大纲文-02 单-复数三角形式求值