2006-广东卷-10 单-复数新定义运算

本题导读

由 $(1,2)\otimes (p,q)=(1\cdot p-2\cdot q,2\cdot p+1\cdot q)=(p-2q,q+2p)=(5,0)$，得 $\{\begin{array}{l}p-2q=5\\ 2p+q=0\end{array}$，解得 $p=1,q=-2$；故 $(1,2)\oplus (p,q)=(1+p,2+q)=(2,0)$，选 B。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 对于任意的两个实数对 $(a,b)$ 和 $(c,d)$，规定：$(a,b)=(c,d)$ 当且仅当 $a=c,b=d$；运算"$\otimes$"为：$(a,b)\otimes (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$；运算"$\oplus$"为：$(a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d)$。设 $p,q\in \mathbf{R}$，若 $(1,2)\otimes (p,q)=(5,0)$，则 $(1,2)\oplus (p,q)=$()

A. $(4,0)$　　　　B. $(2,0)$　　　　C. $(0,2)$　　　　D. $(0,-4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\otimes$ 定义：$(1,2)\otimes (p,q)=(1\cdot p-2\cdot q,2\cdot p+1\cdot q)=(p-2q,q+2p)$。
2. 令 $(p-2q,q+2p)=(5,0)$，得方程组 $p-2q=5,2p+q=0$。
3. 解得 $p=1,q=-2$。
4. $(1,2)\oplus (p,q)=(1+p,2+q)=(2,0)$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由运算定义，$(1,2)\otimes (p,q)=(p-2q,2p+q)=(5,0)$，即 $p-2q=5$ 且 $2p+q=0$，解得 $p=1$，$q=-2$． 于是 $(1,2)\oplus (p,q)=(1+p,2+q)=(2,0)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数新定义运算

核心方法：$(1,2)\otimes (p,q)=(p-2q,q+2p)=(5,0)$ 解得 $p=1,q=-2$，$(1,2)\oplus (p,q)=(1+p,2+q)=(2,0)$

避坑指南：新定义按公式代入列方程组；注意 $\otimes$ 第二坐标是 $bc+ad$（实部 $ac-bd$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 复数新定义运算（仿复数乘法、加法）

结论推广: 解方程组 $p-2q=5,2p+q=0$ 得 $p=1,q=-2$

方法推广: 新定义题严格按题给公式运算，不臆造规则

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-05 单-新定义运算
• 2010-广东卷文-10 单-新定义运算
• 2011-广东卷文-10 单-函数新定义运算