2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角

本题导读

本题考查直三棱柱中的线面垂直与二面角。核心在于建立空间直角坐标系用向量证垂直并求二面角。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 如图，直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$AC=1$，$CB=\sqrt{2}$，侧棱 $A{A}_1=1$，侧面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 的两条对角线交点为 $D$，$B_1{C}_1$ 的中点为 $M$.

(1) 求证：$CD\perp$ 平面 $BDM$；

(2) 求面 $B_{1}BD$ 与面 $CBD$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

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1. 建系 $C$ 为原点，$CA$、$CB$、$C{C}_1$ 为三坐标轴正方向。
2. 写出 $D,M$ 坐标，算 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DB}=0$、$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DM}=0$。
3. 证 $CD\perp$ 平面 $BDM$；取公棱 $BD$ 上法向量求二面角。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）建系使 $C$ 为原点，$CA$、$CB$、$C{C}_1$ 为三坐标轴正方向，则 $C=(0,0,0)$，$A=(1,0,0)$，$B=(0,\sqrt{2},0)$，$A_1=(1,0,1)$，$B_1=(0,\sqrt{2},1)$，$C_1=(0,0,1)$.$D$ 是矩形 $A{A}_1{B}_{1}B$ 对角线交点，$M$ 是 $B_1{C}_1$ 中点，故 $D=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$，$M=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$.于是 $\overrightarrow{CD}=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{DB}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2}\right)$，$\overrightarrow{DM}=\left(-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)$.计算得 $\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DM}=0$，而 $DB$、$DM$ 是平面 $BDM$ 内两条相交直线，故 $CD\perp$ 平面 $BDM$. （2）公棱为 $BD$，取 $\vec{e}=\overrightarrow{DB}$，$|\vec{e}|=1$.在面 $B_{1}BD$ 内取 $\overrightarrow{D{B}_1}=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2}\right)$，其与 $BD$ 垂直的分量 $\vec{u}=\overrightarrow{D{B}_1}-\frac{1}{2}\vec{e}=\left(-\frac{1}{4},\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{3}{4}\right)$，$|\vec{u}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$.在面 $CBD$ 内 $\overrightarrow{DC}=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{1}{2}\right)$ 与 $\vec{e}$ 垂直且模为 $1$.故二面角平面角 $\theta$ 满足 $\cos \theta =\frac{\vec{u}\cdot \overrightarrow{DC}}{|\vec{u}|\cdot |\overrightarrow{DC}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，所以 $\theta =\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱垂直与二面角
2. 核心方法：建系 $C$ 为原点：$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DB}=0$，$\overrightarrow{CD}\cdot \overrightarrow{DM}=0$，$CD\perp$ 面 $BDM$；二面角平面角余弦 $-\frac{\sqrt{3}}{3}$，大小 $\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：$D(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{2})$ 是侧面矩形对角线交点、$M(0,\frac{\sqrt{2}}{2},1)$；二面角 $B_{1}BD$-$CBD$ 为钝角取补——法向量或投影向量夹角要按图形定钝锐

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直三棱柱中的垂直与二面角，教材”空间向量与立体几何”
2. 结论推广: 一般化：三条两两垂直的棱建系后，所有点坐标由长度直接读出；证垂直先算两个点积；二面角用法向量夹角并按图形定钝锐

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷II文-20 解-直三棱柱公垂线与二面角
• 2007-福建文-19 解-正三棱柱垂直与二面角
• 2011-湖北卷文-18 解-三棱柱垂直与二面角