2003-北京卷理-17 解-正三棱柱中线面平行与二面角

本题导读

本题考查空间向量在立体几何中的应用，以及线面平行的判定、二面角的求法和三棱锥体积的计算。核心在于建立空间直角坐标系，将几何关系转化为向量坐标运算。

📌【题干】

Question

（2003年北京卷(理)） 如图，正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的底面边长为 $3$，侧棱 $A{A}_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$D$ 是 $CB$ 延长线上一点，且 $BD=BC$.

(1) 求证：直线 $B{C}_1\parallel$ 平面 $A{B}_{1}D$；

(2) 求二面角 $B_1-AD-B$ 的大小；

(3) 求三棱锥 $C_1-AB{B}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 建系定坐标：取 $B$ 为原点，$BC$ 为 $x$ 轴方向，棱柱沿 $z$ 轴方向延伸，写出各顶点的坐标，其中 $D$ 由 $BD=BC$ 确定在 $x$ 轴负方向。

2. 证线面平行：求向量 $\overrightarrow{B{C}_1}$，与平面 $A{B}_{1}D$ 内的一条向量共线，即可证 $B{C}_1$ 平行于平面 $A{B}_{1}D$。

3. 求二面角：分别求底面 $ADB$ 与平面 $AD{B}_1$ 的法向量，用向量夹角公式求二面角的平面角。

4. 求体积：以 $△AB{B}_1$ 为底，求 $C_1$ 到该平面的距离，套用三棱锥体积公式。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析

(2) $60^{\circ }$

(3) $\frac{27}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，建立空间直角坐标系，使 $B(0,0,0)$，$C(3,0,0)$，$A\left(\frac{3}{2},h,0\right)$，且棱柱沿 $z$ 轴方向延伸。由 $C,B,D$ 依次在同一直线上且 $BD=BC=3$，得 $D(-3,0,0)$，又 $B_1(0,0,h)$，$C_1(3,0,h)$。

(1) 求证：直线 $B{C}_1\parallel$ 平面 $A{B}_{1}D$

由坐标直接得到 $\overrightarrow{B{C}_1}=(3,0,h)=\overrightarrow{D{B}_1}$。直线 $D{B}_1$ 在平面 $A{B}_{1}D$ 内，所以 $B{C}_1\parallel D{B}_1$，故 $B{C}_1$ 平行于平面 $A{B}_{1}D$。

(2) 求二面角 $B_1-AD-B$ 的大小

平面 $ADB$ 是底面所在的平面，其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(0,0,1)$。平面 $AD{B}_1$ 内取 $\overrightarrow{DA}=\left(\frac{9}{2},h,0\right)$，$\overrightarrow{D{B}_1}=(3,0,h)$，于是其一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{DA}\times \overrightarrow{D{B}_1}=\left(h^2,-\frac{9}{2}h,-3h\right)$ 代入 $h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 得 $\Vert {\mathbf{n}}_1\Vert =9\sqrt{3}$，且 $|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|=3h=\frac{9\sqrt{3}}{2}$。设二面角 $B_1-AD-B$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{\Vert {\mathbf{n}}_1\Vert \Vert {\mathbf{n}}_2\Vert }=\frac{1}{2}$ 所以 $\theta =60^{\circ }$。

(3) 求三棱锥 $C_1-AB{B}_1$ 的体积

三角形 $AB{B}_1$ 是直角三角形，故 $S_{△AB{B}_1}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot B{B}_1=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot h=\frac{9\sqrt{3}}{4}$ 平面 $AB{B}_1$ 是过 $AB$ 的竖直平面，点 $C_1$ 到该平面的距离等于底面内点 $C$ 到边 $AB$ 的距离，即正三角形 $ABC$ 的高 $h$。因此三棱锥 $C_1-AB{B}_1$ 的体积为 $V=\frac{1}{3}{S}_{△AB{B}_1}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{27}{8}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间向量法证明线面平行、求二面角，以及三棱锥体积的计算。
2. 核心方法：建系定坐标，用向量共线证平行、用法向量夹角求二面角、用「等体积法」求体积。
3. 避坑指南：

   • 建系时要写清原点与坐标轴方向，$D$ 在 $x$ 轴负半轴，勿把 $D$ 坐标写成正数。

   • 求二面角时要注意法向量的方向，最终 $\theta$ 取锐角 $60^{\circ }$，而非钝角 $120^{\circ }$。

   • 求体积时，点到平面的距离等于底面正三角形的高 $h$，这一步易错，需结合几何直观确认。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于立体几何中「向量法处理线面平行、二面角与体积」的典型综合题，考查建系与向量运算的基本功。

2. 结论推广: 一般地，正三棱柱底面边长为 $a$、侧棱为 $h$ 时，底面正三角形的高恒为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a$，这是求点到平面距离、体积时反复用到的关键量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角
• 2005-北京卷文-16 解-直三棱柱线面平行与异面角
• 1994-全国卷文-23 解-正三棱柱中的平行与射影