2005-北京卷文-16 解-直三棱柱线面平行与异面角

本题导读

本题考查直三棱柱中的线面平行、异面直线所成角。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AC=3$，$BC=4$，$AB=5$，$A{A}_1=4$，点 $D$ 是 $AB$ 的中点．

(1) 求证：$AC\perp B{C}_1$；

(2) 求证：$A{C}_1\parallel$ 平面 $CD{B}_1$；

(3) 求异面直线 $A{C}_1$ 与 $B_{1}C$ 所成角的余弦值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $3^2+4^2=5^2$ 得 $AC\perp BC$；建系 $C$ 为原点，$A(3,0,0)$，$B(0,4,0)$，$C_1(0,0,4)$。
2. (1) $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=0$。(2) $\overrightarrow{A{C}_1}=-2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{B}_1}$，方向向量线性组合且 $A$ 不在平面内。
3. $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \overrightarrow{B_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{C}_1}||\overrightarrow{B_{1}C}|}$。

✅【答案】

Success

(1) 见解析；(2) 见解析；(3) $\frac{2\sqrt{2}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AC=3$，$BC=4$，$AB=5$ 满足 $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2$，所以 $AC\perp BC$．建立空间直角坐标系，取 $C$ 为原点，令 $A=(3,0,0)$，$B=(0,4,0)$，$z$ 轴垂直于底面 $ABC$，则 $C_1=(0,0,4)$，$B_1=(0,4,4)$，$D=\left(\frac{3}{2},2,0\right)$． (1) $\overrightarrow{AC}=(-3,0,0)$，$\overrightarrow{B{C}_1}=(0,-4,4)$，所以 $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{C}_1}=0$，故 $AC\perp B{C}_1$． (2) $\overrightarrow{A{C}_1}=(-3,0,4)$，$\overrightarrow{CD}=\left(\frac{3}{2},2,0\right)$，$\overrightarrow{C{B}_1}=(0,4,4)$，且 $\overrightarrow{A{C}_1}=-2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{B}_1}$．因此直线 $A{C}_1$ 的方向向量是平面 $CD{B}_1$ 内两个相交方向向量的线性组合．另外，若点 $A$ 在平面 $CD{B}_1$ 内，则由 $\overrightarrow{CA}=(3,0,0)=u\overrightarrow{CD}+v\overrightarrow{C{B}_1}$ 的竖直坐标得 $v=0$，进而 $\overrightarrow{CA}=u\overrightarrow{CD}$，但 $(3,0,0)$ 不是 $\left(\frac{3}{2},2,0\right)$ 的倍数，矛盾．所以 $A$ 不在平面 $CD{B}_1$ 内，故 $A{C}_1\parallel$ 平面 $CD{B}_1$． (3) 取 $\overrightarrow{B_{1}C}=(0,-4,-4)$，则 $|\overrightarrow{A{C}_1}|=5$，$|\overrightarrow{B_{1}C}|=4\sqrt{2}$，且 $|\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \overrightarrow{B_{1}C}|=16$．所以异面直线 $A{C}_1$ 与 $B_{1}C$ 所成角的余弦值为 $\frac{16}{5\times 4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱线面平行与异面角

核心方法：勾股定直角，基底分解证线面平行，数量积求异面角

避坑指南：$3^2+4^2=5^2$ 得 $AC\perp BC$；$\overrightarrow{A{C}_1}=-2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{C{B}_1}$ 证线面平行；$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A{C}_1}\cdot \overrightarrow{B_{1}C}|}{5\times 4\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{5}$；异面角取正值别忘绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直棱柱中的线面关系（人教 A 版选择性必修一）

结论推广：直棱柱侧棱垂直底面，常用勾股逆定理先定底面直角，再用中位线或基底分解证平行

方法推广：空间向量法（坐标或基底）把证明题化为代数运算，异面角取绝对值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角
• 2012-大纲卷文-16 填-异面直线所成角