2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定。核心在于线面垂直转线线垂直。

📌【题干】

Question

（2006年北京卷(文)） 如图，$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是正四棱柱． （1）求证：$BD\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$； （2）若二面角 $C_1-BD-C$ 的大小为 $60^{\circ }$，求异面直线 $B{C}_1$ 与 $AC$ 所成角的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正四棱柱底面是正方形，$BD\perp AC$；侧棱 $C{C}_1\perp$ 底面，故 $C{C}_1\perp BD$。
2. $BD$ 垂直平面 $AC{C}_1{A}_1$ 内两相交直线，得线面垂直。
3. 平移 $B{C}_1$ 到 $A{D}_1$，异面角化为 $\angle D_{1}AC$，在 $△AC{D}_1$ 中用余弦定理。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析

(2)异面直线 $B{C}_1$ 与 $AC$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）正四棱柱的底面 $ABCD$ 是正方形，故对角线 $BD\perp AC$； 又侧棱 $C{C}_1\perp$ 底面 $ABCD$，$BD\subset$ 底面 $ABCD$，故 $C{C}_1\perp BD$． $AC\subset$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，$C{C}_1\subset$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，且 $AC\cap C{C}_1=C$， 所以 $BD\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$． （2）由 $AB\parallel D_1{C}_1$ 且 $AB=D_1{C}_1$，故 $B{C}_1\parallel A{D}_1$， 异面直线 $B{C}_1$ 与 $AC$ 所成角即 $\angle D_{1}AC$（或其补角）． 设 $AB=1$，棱柱高为 $h$（$C{C}_1=h$）．二面角 $C_1-BD-C$ 的棱为 $BD$， 由（1）$BD\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，取 $BD$ 与 $AC$ 的交点 $O$（正方形中心），则 $C_{1}O\perp BD$，$CO\perp BD$， 故 $\angle C_{1}OC$ 是二面角 $C_1-BD-C$ 的平面角，即 $\angle C_{1}OC=60^{\circ }$． $OC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$C{C}_1=h$，$C_1{O}^2=C{C}_1^2+O{C}^2=h^2+\frac{1}{2}$， 由 $\cos \angle C_{1}OC=\frac{OC}{C_{1}O}$（直角三角形 $C{C}_{1}O$ 中 $C{C}_1\perp OC$）…… 即 $\cos 60^{\circ }=\frac{OC}{C_{1}O}$，得 $C_{1}O=2OC=\sqrt{2}$，故 $h^2+\frac{1}{2}=2$，$h^2=\frac{3}{2}$． 在 $△AC{D}_1$ 中：$AC=\sqrt{2}$，$A{D}_1=B{C}_1=\sqrt{1+h^2}=\sqrt{\frac{5}{2}}$，$C{D}_1=\sqrt{1+h^2}=\sqrt{\frac{5}{2}}$， 由余弦定理 $\cos \angle D_{1}AC=\frac{A{C}^2+A{D}_1^2-C{D}_1^2}{2\cdot AC\cdot A{D}_1}=\frac{2+\frac{5}{2}-\frac{5}{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{\frac{5}{2}}}=\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$． 故异面直线 $B{C}_1$ 与 $AC$ 所成角的大小为 $\arccos \frac{\sqrt{5}}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正四棱柱线面垂直与异面角

核心方法：线面垂直转线线垂直，异面直线平移共面，余弦定理求角

避坑指南：$BD\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$ 由 $BD\perp AC$ 与 $BD\perp C{C}_1$ 合成；把 $B{C}_1$ 平移到 $A{D}_1$，求 $\angle D_{1}AC$ 的余弦 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 线面垂直判定与异面直线所成角，立体几何综合题

结论推广: 线面垂直用”垂直于平面内两相交直线”判定；异面角通过平移共面转化为平面角

方法推广: 正四棱柱中对角线与棱的垂直关系丰富，平移 $B{C}_1$ 到 $A{D}_1$ 是关键构造

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角
• 2009-北京文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角