2005-北京春文-16 解-正三棱锥二面角与体积

本题导读

本题考查正三棱锥、二面角与棱锥的体积。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 如图，正三棱锥 $S-ABC$ 中，底面边长是 $3$，棱锥的侧面积等于底面积的 $2$ 倍，$M$ 是 $BC$ 的中点．求：

(1) $\frac{AM}{SM}$ 的值；

(2) 二面角 $S-BC-A$ 的大小；

(3) 正三棱锥 $S-ABC$ 的体积．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面积 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，每个侧面积为 $\frac{3}{2}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}$ 的一半即 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
2. $AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}\cdot 3\cdot SM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 得 $SM=\sqrt{3}$，比值 $\frac{3}{2}$。
3. $SM\perp BC$，$AM\perp BC$，二面角平面角为 $\angle SMA$；$O$ 为底面中心，$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$SO=\frac{3}{2}$，余弦定理得 $\angle SMA=60^{\circ }$。
4. $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$。

✅【答案】

Success

（1）$\frac{3}{2}$；（2）$60^{\circ }$；（3）$\frac{9\sqrt{3}}{8}$．

✍【详细解析】

Abstract

设正三棱锥的顶点 $S$ 在底面上的射影为正三角形中心 $O$．底面面积为 $\frac{9\sqrt{3}}{4}$，所以每个侧面的面积为 $\frac{1}{3}\cdot 2\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$． (1) 在等边三角形 $ABC$ 中，$AM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$．又因为 $M$ 是侧面 $SBC$ 的底边中点，$SM$ 是该侧面的高，故 $\frac{1}{2}\cdot 3\cdot SM=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，从而 $SM=\sqrt{3}$．因此 $\frac{AM}{SM}=\frac{3}{2}$． (2) 由正三角形的性质，$A,O,M$ 共线，且 $OM=\frac{1}{3}AM=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$AO=\frac{2}{3}AM=\sqrt{3}$．在直角三角形 $SOM$ 中，$SO=\sqrt{S{M}^2-O{M}^2}=\frac{3}{2}$．于是 $A{S}^2=S{O}^2+A{O}^2=\frac{21}{4}$． 二面角 $S-BC-A$ 的平面角是直线 $SM$ 与 $AM$ 的夹角．在三角形 $SAM$ 中，设该角为 $\phi$，则 $\cos \phi =\frac{S{M}^2+A{M}^2-A{S}^2}{2\cdot SM\cdot AM}=\frac{3+\frac{27}{4}-\frac{21}{4}}{2\cdot \sqrt{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}$． 所以 $\phi =60^{\circ }$． (3) 正三棱锥的体积为 $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{3}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{8}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥二面角与体积

核心方法：侧底面积比定斜高，三线合一作二面角

避坑指南：侧面积 $=$ 底面积 $2$ 倍得 $\frac{AM}{SM}=\frac{3}{2}$；$SM\perp BC$，$AM\perp BC$，二面角平面角为 $\angle SMA=60^{\circ }$；高 $SO$ 与斜高 $SM$ 别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱锥的面积、二面角与体积（人教 A 版必修二）

结论推广：正三棱锥侧面斜高、底面正三角形的高、锥高构成直角三角形

方法推广：“侧面积 $=$ 底面积若干倍”先转成斜高与高的比，再逐个解三角形

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-16 解-三棱锥垂直与二面角
• 2006-北京文-17 解-正四棱柱线面垂直与异面角