2004-北京卷文-16 解-正三棱柱侧面展开

本题导读

本题考查正三棱柱的侧面展开与二面角。核心在于把表面最短路线化为展开图的直线段，再用向量求二面角。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 如图，在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=2$，$A{A}_1=2$，由顶点 $B$ 沿棱柱侧面经过棱 $A{A}_1$ 到顶点 $C_1$ 的最短路线与 $A{A}_1$ 的交点为 $M$，求：

(1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

(2) 该最短路线的长与 $\frac{A_{1}M}{AM}$ 的值；

(3) 平面 $C_{1}MB$ 与平面 $ABC$ 所成二面角（锐角）的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 侧面展开为长 $3AB=6$、宽 $A{A}_1=2$ 的矩形。
2. 展开 $AB{B}_1{A}_1$ 到 $A{A}_1{C}_{1}C$ 平面，连线求最短。
3. 建系求二面角。

✅【答案】

Success

(1) $2\sqrt{10}$

(2) $2\sqrt{5}$，$\frac{A_{1}M}{AM}=1$

(3) $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）正三棱柱的三个侧面展开后组成一个长为 $3AB=6$、宽为 $A{A}_1=2$ 的矩形，其对角线长为 $\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$. （2）把侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 绕棱 $A{A}_1$ 展开到侧面 $A{A}_1{C}_{1}C$ 所在平面，记点 $B$ 的像为 $D$.在展开图中取 $A=(0,0)$、$A_1=(0,2)$，则 $D=(-2,0)$、$C_1=(2,2)$.最短路线的长为 $D{C}_1=\sqrt{(2+2{)}^2+2^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$.直线 $D{C}_1$ 的方程为 $y=\frac{1}{2}x+1$，与 $A{A}_1$（即 $x=0$）交于 $M=(0,1)$，故 $AM=A_{1}M=1$，$\frac{A_{1}M}{AM}=1$. （3）建立空间直角坐标系，取 $A=(0,0,0)$、$B=(2,0,0)$、$C=(1,\sqrt{3},0)$、$A_1=(0,0,2)$、$C_1=(1,\sqrt{3},2)$、$M=(0,0,1)$.平面 $ABC$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$.平面 $C_{1}MB$ 内两相交向量 $\overrightarrow{MB}=(2,0,-1)$、$\overrightarrow{M{C}_1}=(1,\sqrt{3},1)$，其法向量 ${\vec{n}}_2=\overrightarrow{MB}\times \overrightarrow{M{C}_1}=(\sqrt{3},-3,2\sqrt{3})$.故 $|{\vec{n}}_2|=2\sqrt{6}$，$|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|=2\sqrt{3}$，$\cos \theta =\frac{2\sqrt{3}}{1\times 2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，锐二面角 $\theta =45^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正三棱柱侧面展开
2. 核心方法：（1）侧面展开为长 $3AB=6$、宽 $A{A}_1=2$ 的矩形，对角线 $\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$；（2）展开侧面 $AB{B}_1{A}_1$ 到 $A{A}_1{C}_{1}C$ 平面，$B$ 的像 $D=(-2,0)$，$C_1=(2,2)$，最短路线 $D{C}_1=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$；$D{C}_1$ 方程 $y=\frac{1}{2}x+1$ 与 $x=0$ 交 $M=(0,1)$，$AM=A_{1}M=1$，$\frac{A_{1}M}{AM}=1$；（3）建系得二面角余弦 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，故锐二面角 $45^{\circ }$
3. 避坑指南：侧面展开是 $6\times 2$ 矩形；最短路线是展开后两点连线；$M$ 是连线与 $A{A}_1$ 交点；二面角用两平面法向量夹角余弦求

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正三棱柱侧面展开与二面角，教材”空间几何体”
2. 结论推广: 一般化：多面体表面最短路线化为展开图两点的直线段；展开图化三维为二维；二面角用两平面法向量夹角余弦

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角
• 2006-湖北文-18 解-正三棱柱二面角与点面距
• 2007-福建文-19 解-正三棱柱垂直与二面角