2006-湖北文-18 解-正三棱柱二面角与点面距

本题导读

本题考查空间向量。核心在于以M为原点建系，法向量求二面角余弦与点面距。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 如图，已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱长和底面边长均为 $1$，$M$ 是底面 $BC$ 边上的中点，$N$ 是侧棱 $C{C}_1$ 上的点，且 $CN=2C_{1}N$． （1）求二面角 $B_1-AM-N$ 的平面角的余弦值； （2）求点 $B_1$ 到平面 $AMN$ 的距离。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 以 $M$ 为原点、$MC$ 为 $x$ 轴正方向、$MA$ 为 $y$ 轴正方向、$M{M}_1$ 为 $z$ 轴建系。
2. 由底面正三角形边长 $1$，$MA=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$CN=2C_{1}N$ 且 $C{C}_1=1$，故 $CN=\frac{2}{3}$。
3. 坐标：$A(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$，$M(0,0,0)$，$B(-\frac{1}{2},0,0)$，$C(\frac{1}{2},0,0)$，$B_1(-\frac{1}{2},0,1)$，$N(\frac{1}{2},0,\frac{2}{3})$。
4. 面 $AM{B}_1$ 与面 $AMN$ 的公共棱为 $AM$（沿 $y$ 轴），分别求两平面法向量，用夹角的余弦得二面角余弦。
5. 点 $B_1$ 到平面 $AMN$ 的距离用点面距公式。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{\sqrt{5}}{5}$

(2)$1$

✍【详细解析】

Abstract

以 $M$ 为坐标原点，$MC$ 为 $x$ 轴正方向，$MA$ 为 $y$ 轴正方向，过 $M$ 垂直于底面向上为 $z$ 轴建立空间直角坐标系． 由底面正三角形边长 $1$ 得 $MA=\frac{\sqrt{3}}{2}$；又 $C{C}_1=1$，$CN=2C_{1}N$，故 $CN=\frac{2}{3}$．于是 $A\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right),M(0,0,0),B\left(-\frac{1}{2},0,0\right),C\left(\frac{1}{2},0,0\right),B_1\left(-\frac{1}{2},0,1\right),N\left(\frac{1}{2},0,\frac{2}{3}\right).$ （1）二面角 $B_1-AM-N$ 的棱为 $AM$（即 $y$ 轴方向）． 平面 $AM{B}_1$ 的法向量取 $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{M{B}_1}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)\times \left(-\frac{1}{2},0,1\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$，可取 ${\mathbf{n}}_1=(2,0,1)$． 平面 $AMN$ 的法向量取 $\overrightarrow{MA}\times \overrightarrow{MN}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)\times \left(\frac{1}{2},0,\frac{2}{3}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{3},0,-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$，可取 ${\mathbf{n}}_2=(4,0,-3)$． 两平面夹角余弦 $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{|2\cdot 4+0+1\cdot (-3)|}{\sqrt{5}\cdot 5}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

（2）平面 $AMN$ 的一个法向量取 ${\mathbf{n}}_2=(4,0,-3)$（过点 $M$），则点 $B_1\left(-\frac{1}{2},0,1\right)$ 到平面 $AMN$ 的距离 $d=\frac{|{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{M{B}_1}|}{|{\mathbf{n}}_2|}=\frac{\left|4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+0+(-3)\cdot 1\right|}{5}=\frac{|-2-3|}{5}=1.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱二面角与点面距

核心方法：以 $BC$ 中点 $M$ 为原点建系，用空间向量求二面角余弦与点 $B_1$ 到平面 $AMN$ 的距离

避坑指南：正三棱柱侧棱与底面边长均为 $1$，$CN=2C_{1}N$ 即 $CN=\frac{2}{3}$；二面角余弦 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 正三棱柱二面角与点面距，立几综合

结论推广: 空间向量求二面角余弦与点到平面距离

方法推广: 建系取中点，法向量求角与距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.03 空间向量求角
• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2009-陕西卷文-19 解-直三棱柱二面角
• 2009-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱线面角
• 2008-湖北文-18 解-直三棱柱垂直与角
• 2010-大纲Ⅰ文-20 解-四棱锥垂直与二面角