本题导读
本题考查空间两点间最短路径问题。核心在于侧面展开平面化法、空间直角坐标系向量法的灵活运用。
📌【题干】
Question
（2004年北京卷(理)） 如图，在正三棱柱 中， ， ， 为 的中点， 是 上一点，且由 沿棱柱侧面经过棱 到 的最短路线长为 ，设这条最短路线与 的交点为 ，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2) 和 的长；
(3)平面 与平面 所成二面角（锐角）的大小.（用反三角函数表示）
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问（侧面展开图对角线）：正三棱柱的侧面展开图是一个大矩形。底面是正三角形，周长即为矩形的底边长 ，高为侧棱长 。直接利用平面勾股定理求出其对角线。
- 第二问（最短路径反解长度）：将涉及到的两个侧面 与 沿棱 展平在同一个二维平面内。此时从 到 的最短路径是一条直线段 。在直角三角形中利用勾股定理列方程，求出 ，再利用相似三角形或三角函数比例关系求出 。
- 第三问（二面角求解）：
- 几何法：延长 与 的延长线相交于点 ，连接 。则 为两平面的交线。自点 向 引垂线，利用三垂线定理找到二面角的平面角并求解。
- 向量法：以 的中点或以点 为原点建立空间直角坐标系。写出各点坐标，求出平面 的法向量与平面 的法向量（即 ），利用两法向量夹角公式计算其余弦值。
✅【答案】
Success
(1)
(2) ，
(3)
✍【详细解析】
Abstract
（1）求该三棱柱的侧面展开图的对角线长 正三棱柱 的底面为边长 的正三角形，侧棱长 。 将其三个侧面展开铺平，得到一个矩形：
- 矩形的底边长为底面正三角形的周长： ；
- 矩形的高为三棱柱的侧棱长： 。
根据平面矩形的对角线公式，其侧面展开图的对角线长 为：
（2）求 和 的长 由于路径是由 沿侧面经过棱 到达 ，我们将侧面 与侧面 顺次沿棱 展开在同一个平面内，如图所示：
在线性展开平面内，从 到 的空间最短路线即为连接平面两点间的线段 ，其长度已知为： 过点 作矩形底边的平行线，过点 作底边的垂线，两线交于点 ，构造直角三角形 。 由图可知：
- 垂边高度： ；
- 水平基宽： 。
在 中，根据勾股定理满足： 由于长度必须为正数，开方得：
又因为在展开平面内， （或由直线平行截割定理）： 已知 （ 为中点）， ， ，代入比例式中：
所以， 的长为 ， 的长为 。
（3）求平面 与平面 所成二面角（锐角）的大小 采用空间向量坐标法求解： 在底面平面 内，过点 作 的垂线交 于点 。因为 为正三角形，故 为 的中点。 由于该三棱柱为正三棱柱，侧棱 底面 。
以 为坐标原点，射线 方向为 轴正方向，射线 方向为 轴正方向，射线 （平行于侧棱 ）方向为 轴正方向，建立标准右手空间直角坐标系 。
根据已知尺寸进行各特征点坐标解算：
- 基准点： , , ；
- 正三角形的高： ，故 ；
- 点 位于 正上方高为 处： ；
- 点 位于 正上方高为 处： ；
- 点 在线段 上且 ：
现在求平面 的法向量 ： 计算平面上的两个非共线基向量：
根据法向量正交性条件列出方程组： 由第一式可得： 。 将 代入第二式中： 。
取 作为基准参数，解得平面 的一个法向量为：
而底面平面 的一个标准法向量为：
设平面 与平面 所成二面角的锐角为 ，则其对应的余弦值等于两法向量夹角的绝对值：
所以，该二面角的大小为 。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：多面体侧面展开平面化原理；相似三角形在解析长度中的比例应用；利用法向量夹角控算空间面面二面角。
- 核心方法：曲面展开直线性法、空间直角坐标系建立与计算。
- 避坑指南：
- 展开图拼接顺序错误：在进行第二问侧面展开时，必须保证两矩形按共享棱 进行无缝邻接拼接（即拼成 连 ）。顺序一旦拼错，直线 将无法在真实柱体表面闭合。
- 空间点 坐标计算笔误：点 的坐标需要通过向量定比分点公式 严格计算，避免在非直角非对称边界上凭直觉瞎写坐标。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学解答题的立体几何大题（第 16 题位置）。题目融合了经典的“外表面测地线最短路径”物理模型与现代解析向量求二面角的方法，属于考查综合数形转换能力的经典高分题。
- 结论推广: 求多面体表面两点间的最短路径，可把相关侧面展开成平面，将问题转化为平面内两点间线段长度，再用勾股定理求解。
🔗【关联脉络】
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