2006-全国卷II文-20 解-直三棱柱公垂线与二面角

本题导读

本题考查异面直线的公垂线。核心在于线面垂直证公垂线、坐标法求二面角。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷II(文)） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=BC$，$D,E$ 分别为 $B{B}_1,A{C}_1$ 的中点． （1）证明：$ED$ 为异面直线 $B{B}_1$ 与 $A{C}_1$ 的公垂线； （2）设 $A{A}_1=AC=\sqrt{2}AB$，求二面角 $A_1-AD-C_1$ 的大小．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $AC$ 中点 $O$，连 $EO,BO$，证 $EODB$ 为平行四边形，故 $ED\parallel OB$。
2. 由 $AB=BC$ 得 $OB\perp AC$，又 $OB\perp C{C}_1$，故 $OB\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$。
3. 于是 $ED\perp A{C}_1$，又 $ED\parallel OB\perp B{B}_1$，故 $ED$ 与 $B{B}_1,A{C}_1$ 都垂直，是公垂线。
4. 建系求二面角。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析

(2)二面角 $A_1-AD-C_1$ 的大小为 $60^{\circ }$（$\frac{\pi }{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $O$ 为 $AC$ 中点，连接 $EO,BO$，则 $EO\parallel C{C}_1$ 且 $EO=\frac{1}{2}C{C}_1$． 又 $C{C}_1\parallel B{B}_1$，$D$ 为 $B{B}_1$ 中点，故 $EO\parallel DB$ 且 $EO=DB$，所以四边形 $EODB$ 是平行四边形，$ED\parallel OB$． 因为 $AB=BC$，$O$ 是 $AC$ 中点，所以 $OB\perp AC$． 又 $C{C}_1\perp$ 平面 $ABC$，$OB\subset$ 平面 $ABC$，故 $C{C}_1\perp OB$，于是 $OB\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$． 所以 $ED\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，从而 $ED\perp A{C}_1$；又 $ED\parallel OB$，$OB\perp B{B}_1$（因 $B{B}_1\parallel C{C}_1$，$OB\perp C{C}_1$），故 $ED\perp B{B}_1$． 因此 $ED$ 与 $B{B}_1,A{C}_1$ 都垂直，是异面直线 $B{B}_1$ 与 $A{C}_1$ 的公垂线． （2）设 $AB=BC=1$，则 $A{A}_1=AC=\sqrt{2}$．建立空间直角坐标系（$O$ 为原点，$OB$ 为 $x$ 轴，$OC$ 为 $y$ 轴，$OC$ 的平行 $z$ 轴方向为 $C{C}_1$）， 可求得平面 $A_{1}AD$ 与平面 $A{C}_{1}D$ 的法向量，进而求得二面角 $A_1-AD-C_1$ 的大小为 $60^{\circ }$（$\frac{\pi }{3}$）．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直三棱柱公垂线与二面角

核心方法：取 $AC$ 中点 $O$，证 $ED\parallel OB$，由 $AB=BC$ 得 $OB\perp AC$，又 $OB\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，故 $ED$ 是 $B{B}_1$ 与 $A{C}_1$ 的公垂线；二面角用射影面积或坐标法得 $60^{\circ }$

避坑指南：公垂线需证与两线都垂直且相交；$AB=BC$ 是关键条件（等腰得 $OB\perp AC$）；二面角别把 $60^{\circ }$ 与 $120^{\circ }$ 混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直三棱柱中公垂线与二面角，考查立体几何综合

结论推广: 取中点构造平行四边形证平行，再由线面垂直得公垂线

方法推广: 公垂线证明用与两线都垂直且相交，二面角可用射影面积或坐标法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱公垂线与二面角
• 2008-大纲Ⅰ文-11 单-三棱柱线面角
• 2009-大纲Ⅱ文-19 解-直三棱柱线面角