2003-河南卷-19 解-直三棱柱线面角与距离

本题导读

本题考查直三棱柱中的线面角与距离。核心在于利用射影为重心定出棱长。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，底面是等腰直角三角形，$\angle ACB=90^{\circ }$，侧棱 $A{A}_1=2$，$D$，$E$ 分别是 $C{C}_1$ 与 $A_{1}B$ 的中点，点 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影是 $△ABD$ 的重心 $G$.

(1) 求 $A_{1}B$ 与平面 $ABD$ 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

(2) 求点 $A_1$ 到平面 $AED$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系，设 $CA=CB=l$，由 $G$ 是 $E$ 在面 $ABD$ 的射影得 $\overrightarrow{GE}\perp$ 面，定 $l=2$。
2. 法向量求线面角与点面距。

✅【答案】

Success

(1) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$；(2) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 以 $C$ 为原点，$CA$、$CB$、$C{C}_1$ 为坐标轴建系，设 $CA=CB=l$，则 $A(l,0,0)$，$B(0,l,0)$，$A_1(l,0,2)$，$D(0,0,1)$，$E\left(\frac{l}{2},\frac{l}{2},1\right)$，重心 $G\left(\frac{l}{3},\frac{l}{3},\frac{1}{3}\right)$.由 $G$ 是 $E$ 在平面 $ABD$ 上的射影得 $\overrightarrow{GE}\perp$ 平面 $ABD$，而平面 $ABD$ 的法向量为 $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD}=(l,l,l^2)$，$\overrightarrow{GE}=\left(\frac{l}{6},\frac{l}{6},\frac{2}{3}\right)$ 与该法向量平行，得 $\frac{2}{3}=\frac{l^2}{6}$，即 $l=2$.取平面 $ABD$ 法向量 $\mathbf{n}=(1,1,2)$，直线 $A_{1}B$ 方向向量 $\mathbf{v}=(2,-2,2)$，设线面角为 $\phi$，则 $\sin \phi =\frac{|\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{v}||\mathbf{n}|}=\frac{4}{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，故 $\phi =\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$. (2) 由 $E(1,1,1)$，$\overrightarrow{AE}=(-1,1,1)$，$\overrightarrow{AD}=(-2,0,1)$，平面 $AED$ 的法向量为 $\overrightarrow{AE}\times \overrightarrow{AD}=(1,-1,2)$，其方程为 $x-y+2z-2=0$.点 $A_1(2,0,2)$ 到该平面的距离为 $\frac{|2-0+4-2|}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直三棱柱线面角与距离
2. 核心方法：重心 $G$ 为射影定 $l=2$；$A_{1}B$ 与面 $ABD$ 所成角 $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{3}$；$A_1$ 到面 $AED$ 距离 $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
3. 避坑指南：射影是重心先定棱长，再用法向量求角与距离

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材空间向量与立体几何
2. 结论推广: 一般地，射影为重心可定几何量；建系用法向量求线面角与点面距

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷II文-20 解-直三棱柱垂直与二面角
• 2004-浙江文-19 解-空间线面垂直
• 2004-湖北文-18 解-线面垂直与二面角