2003-大纲文-22 解-矩形动点轨迹与椭圆

本题导读

本题考查轨迹方程与椭圆。核心在于由两动直线交点消去参数得轨迹方程，再按参数范围讨论两定点（焦点）的存在性。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知常数 $a>0$，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=4$，$BC=4a$，$O$ 为 $AB$ 的中点，点 $E$、$F$、$G$ 分别在 $BC$、$CD$、$DA$ 上移动，且 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}$，$P$ 为 $GE$ 与 $OF$ 的交点（如图），问是否存在两个定点，使 $P$ 到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 建系 $O$ 为原点，设比例 $t$，$E=(2,4at)$，$F=(2-4t,4a)$，$G=(-2,4a-4at)$。
2. 直线 $OF:2ax+(2t-1)y=0$，$GE:-a(2t-1)x+y-2a=0$，消 $t$ 得椭圆方程。
3. $\frac{x^2}{1/2}+\frac{(y-a{)}^2}{a^2}=1$，按 $a$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 大小讨论焦点。

✅【答案】

Success

见解析（分 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$、$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$、$a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 讨论）

✍【详细解析】

Abstract

以 $O$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴（正方向由 $O$ 指向 $B$），则 $A=(-2,0)$，$B=(2,0)$，$C=(2,4a)$，$D=(-2,4a)$.设 $\frac{BE}{BC}=\frac{CF}{CD}=\frac{DG}{DA}=t$（$0⩽t⩽1$），则 $E=(2,4at)$，$F=(2-4t,4a)$，$G=(-2,4a-4at)$.直线 $OF$ 的方程为 $2ax+(2t-1)y=0$，直线 $GE$ 的方程为 $-a(2t-1)x+y-2a=0$.设 $P=(x,y)$，由第一式 $(2t-1)y=-2ax$，代入第二式消去 $t$，得 $y^2-2ay=a(2t-1)xy=-2a^2{x}^2$，即 $\frac{x^2}{1/2}+\frac{(y-a{)}^2}{a^2}=1$. 该椭圆两个半轴长分别为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 和 $a$： 当 $0<a<\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，长半轴为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，焦半距 $c=\sqrt{\frac{1}{2}-a^2}$，取 $F_1=(-c,a)$、$F_2=(c,a)$，则 $P{F}_1+P{F}_2=2\times \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$； 当 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，轨迹为圆，不存在两个不同定点使距离和为定值； 当 $a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，长半轴为 $a$，焦半距 $c=\sqrt{a^2-\frac{1}{2}}$，取 $F_1=(0,a-c)$、$F_2=(0,a+c)$，则 $P{F}_1+P{F}_2=2a$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：矩形动点轨迹与椭圆
2. 核心方法：建系 $O$ 原点，设比例 $t$，$E=(2,4at)$，$F=(2-4t,4a)$，$G=(-2,4a-4at)$；消参得 $\frac{x^2}{1/2}+\frac{(y-a{)}^2}{a^2}=1$；分 $a<\frac{\sqrt{2}}{2}$、$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$、$a>\frac{\sqrt{2}}{2}$ 讨论焦点
3. 避坑指南：直线 $OF$、$GE$ 联立消参数 $t$ 得椭圆方程；按 $a$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 大小关系定长轴方向，$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时轨迹是圆弧无两定点

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于轨迹方程，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：两动直线交点消参得轨迹，判断是否为椭圆；消参数得轨迹方程，按参数范围讨论焦点存在性

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-06 单-正方体动点轨迹
• 2004-福建文-21 解-抛物线弦中点轨迹
• 2005-山东卷文-22 解-抛物线轨迹与定点