2003-天津文-22 解-动点轨迹与焦点

本题导读

本题考查动点轨迹方程与椭圆焦点的存在性讨论。

📌【题干】

Question

（2003年天津卷(文)） 已知常数 $\alpha >0$，向量 $\vec{c}=(0,\alpha )$，$\vec{i}=(1,0)$.经过原点 $O$ 以 $\vec{c}+\lambda \vec{i}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0,\alpha )$ 以 $\vec{i}-2\lambda \vec{c}$ 为方向向量的直线相交于 $P$，其中 $\lambda \in \mathbf{R}$.试问：是否存在两个定点 $E,F$，使得 $|PE|+|PF|$ 为定值.若存在，求出 $E,F$ 的坐标；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 交点 $P$ 参数化，消去 $\lambda$ 得轨迹方程 $2{\alpha }^2{x}^2+{\left(y-\frac{\alpha }{2}\right)}^2=\frac{{\alpha }^2}{4}$。
2. 按 $\alpha$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 比较半轴长。
3. $0<\alpha <\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时焦点在 $x$ 轴；$\alpha >\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时焦点在 $y$ 轴；$\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时为圆，不存在两定点。

✅【答案】

Success

见解析

✍【详细解析】

Abstract

设交点 $P$ 在第一条直线上的参数为 $t$，第二条为 $s$，则 $P=t(\lambda ,\alpha )=(s,\alpha -2\alpha \lambda s)$，故 $s=t\lambda$ 且 $\alpha t=\alpha -2\alpha \lambda s$，代入得 $t(1+2{\lambda }^2)=1$，从而 $P=\left(\frac{\lambda }{1+2{\lambda }^2},\frac{\alpha }{1+2{\lambda }^2}\right)$.记 $P=(x,y)$，由 $y>0$ 得 $\lambda =\frac{\alpha x}{y}$，再由 $y=\frac{\alpha }{1+2{\lambda }^2}$ 消去 $\lambda$，得 $2{\alpha }^2{x}^2+y^2-\alpha y=0$，即 $2{\alpha }^2{x}^2+{\left(y-\frac{\alpha }{2}\right)}^2=\frac{{\alpha }^2}{4}$.这是中心为 $\left(0,\frac{\alpha }{2}\right)$ 的椭圆，半轴长分别为 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ 和 $\frac{\alpha }{2}$. 当 $0<\alpha <\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，长轴在 $x$ 轴方向，两焦点为 $E\left(-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-{\alpha }^2},\frac{\alpha }{2}\right),F\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}-{\alpha }^2},\frac{\alpha }{2}\right)$，且 $|PE|+|PF|=\frac{1}{\sqrt{2}}$；当 $\alpha >\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，长轴在 $y$ 轴方向，两焦点为 $E\left(0,\frac{\alpha -\sqrt{{\alpha }^2-\frac{1}{2}}}{2}\right),F\left(0,\frac{\alpha +\sqrt{{\alpha }^2-\frac{1}{2}}}{2}\right)$，且 $|PE|+|PF|=\alpha$；当 $\alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，轨迹为圆，焦点重合于圆心，不存在两个不同的定点，按题意不存在符合条件的 $E,F$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：动点轨迹与焦点
2. 核心方法：两直线交点 $P=(\frac{\lambda }{1+2{\lambda }^2},\frac{\alpha }{1+2{\lambda }^2})$，消 $\lambda$ 得 $2{\alpha }^2{x}^2+(y-\frac{\alpha }{2}{)}^2=\frac{{\alpha }^2}{4}$；按 $\alpha$ 与 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 大小讨论焦点
3. 避坑指南：参数消去得轨迹方程（椭圆/圆）；按半轴长比较讨论焦点存在性

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于动点轨迹，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：参数消去得轨迹方程，判断椭圆焦点；由轨迹方程半轴长讨论焦点存在性

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-22 解-矩形动点轨迹与椭圆
• 2008-辽宁文-21 解-椭圆轨迹与向量垂直
• 2008-江西文-07 单-椭圆轨迹离心率范围