2004-北京卷文-06 单-正方体动点轨迹

本题导读

本题考查正方体中动点的轨迹，以及抛物线的定义。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(文)） 如图，在正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$P$ 是侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内一动点，若 $P$ 到直线 $BC$ 与直线 $C_1{D}_1$ 的距离相等，则动点 $P$ 的轨迹所在的曲线是()

A. 直线　　　　　B. 圆　　　　　C. 双曲线　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

1. $P$ 在侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内。
2. $P$ 到直线 $C_1{D}_1$ 的距离等于 $P$ 到上底面（含 $C_1{D}_1$）的距离。
3. 到定直线与定平面距离相等的轨迹是抛物线。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，$P$ 到直线 $BC$ 的距离即 $P$ 到该侧面下底边 $BC$ 的距离。直线 $C_1{D}_1$ 与侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 上底边 $B_1{C}_1$ 平行且所在平面即上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，故 $P$ 到 $C_1{D}_1$ 的距离等于 $P$ 到上底面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的距离，即 $P$ 到直线 $B_1{C}_1$ 的距离。于是在侧面内，$P$ 到定直线 $BC$（准线方向）与到定直线 $B_1{C}_1$ 的距离关系并不直接构成圆锥曲线。实际上 $P$ 到 $C_1{D}_1$ 的距离是到上底面的距离（垂直于侧面），而 $P$ 到 $BC$ 的距离是侧面内到 $BC$ 的距离，两者相等即”到定点与定直线距离相等”的抛物线定义，轨迹为抛物线，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正方体动点轨迹
2. 核心方法：在侧面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内，$P$ 到直线 $BC$ 的距离为 $P$ 到该侧面内一条边的距离，到直线 $C_1{D}_1$（与 $BC$ 异面且平行于 $A{A}_1$）的距离等于到 $B_1{C}_1$ 的距离；由抛物线定义（到定直线与到定直线的距离相等构不成抛物线），实际为到直线 $BC$ 与到平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 距离相等，轨迹是抛物线
3. 避坑指南：$P$ 到 $C_1{D}_1$ 的距离即 $P$ 到上底面（含 $C_1{D}_1$）的距离；到定直线与定平面距离相等，其交线轨迹为抛物线

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于正方体与轨迹，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：动点到定直线与定平面距离相等，轨迹为抛物线；把到异面直线的距离转化为到其所在平面的距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-22 解-抛物线轨迹与定点
• 2010-上海卷文-08 填-抛物线定义求轨迹
• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线