2004-福建文-21 解-抛物线弦中点轨迹

本题导读

本题考查抛物线的切线与法线、弦中点轨迹。核心在于设参数坐标联立消参求轨迹方程，并用基本不等式求最短距离。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 如图，$P$ 是抛物线 $C:y=\frac{1}{2}{x}^2$ 上一点，直线 $l$ 过点 $P$ 并与抛物线 $C$ 在点 $P$ 的切线垂直，$l$ 与抛物线 $C$ 相交于另一点 $Q$.

(1) 当点 $P$ 的横坐标为 $2$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(2) 当点 $P$ 在抛物线 $C$ 上移动时，求线段 $PQ$ 中点 $M$ 的轨迹方程，并求点 $M$ 到 $x$ 轴的最短距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 切线斜率 $p$，法线 $l$ 斜率 $-\frac{1}{p}$；$p=2$ 时 $x+2y-6=0$。
2. 联立得 $p{x}^2+2x-p(p^2+2)=0$，另一根 $q=-p-\frac{2}{p}$；$X=-\frac{1}{p}$，$Y=\frac{p^2}{2}+1+\frac{1}{p^2}$。
3. 消参得 $Y=X^2+1+\frac{1}{2X^2}$（$X\ne 0$）；$Y⩾1+\sqrt{2}$，最短距离 $1+\sqrt{2}$。

✅【答案】

Success

(1) $x+2y-6=0$

(2) 轨迹方程为 $Y=X^2+1+\frac{1}{2X^2}$（$X\ne 0$），点 $M$ 到 $x$ 轴的最短距离为 $1+\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $P=\left(p,\frac{p^2}{2}\right)$.当 $p=0$ 时，过 $P$ 的垂线为 $x=0$，与抛物线不再有另一交点，故以下取 $p\ne 0$.抛物线在 $P$ 处的切线斜率为 $p$，故直线 $l$ 的斜率为 $-\frac{1}{p}$，方程为 $y-\frac{p^2}{2}=-\frac{1}{p}(x-p)$. （1）当 $p=2$ 时，$P=(2,2)$，$l$ 的方程为 $y-2=-\frac{1}{2}(x-2)$，即 $x+2y-6=0$. （2）设 $Q=\left(q,\frac{q^2}{2}\right)$.将 $l$ 与抛物线联立，得 $\frac{1}{2}{x}^2=-\frac{1}{p}x+1+\frac{p^2}{2}$，即 $p{x}^2+2x-p(p^2+2)=0$.其中一个根为 $p$，由两根之和得另一根 $q=-p-\frac{2}{p}$.设 $M=(X,Y)$，则 $X=\frac{p+q}{2}=-\frac{1}{p}$，$Y=\frac{p^2+q^2}{4}=\frac{p^2}{2}+1+\frac{1}{p^2}$.消去 $p$（$p^2=\frac{1}{X^2}$），得中点 $M$ 的轨迹方程 $Y=X^2+1+\frac{1}{2X^2}$，其中 $X\ne 0$.因为 $X^2>0$，由基本不等式得 $Y=1+X^2+\frac{1}{2X^2}⩾1+2\sqrt{\frac{1}{2}}=1+\sqrt{2}$，等号当且仅当 $X^2=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时成立。轨迹在 $x$ 轴上方，所以点 $M$ 到 $x$ 轴的最短距离为 $1+\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线弦中点轨迹
2. 核心方法：切线斜率 $p$，法线 $l$ 斜率 $-\frac{1}{p}$；（1）$p=2$ 时 $x+2y-6=0$；（2）联立得 $q=-p-\frac{2}{p}$，中点 $X=-\frac{1}{p}$，$Y=\frac{p^2}{2}+1+\frac{1}{p^2}$，消参得 $Y=X^2+1+\frac{1}{2X^2}$（$X\ne 0$），最短距离 $1+\sqrt{2}$
3. 避坑指南：法线斜率是切线斜率的负倒数；消参时用 $p^2=\frac{1}{X^2}$；$p=0$ 时法线与抛物线无第二交点要剔除

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于抛物线的切线、法线与轨迹，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：弦中点轨迹用设点联立消参；最值用基本不等式；设参数坐标，联立消元得交点，中点坐标消参求轨迹

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-22 解-抛物线轨迹与定点
• 2004-北京卷文-17 解-抛物线方程与斜率
• 2005-北京春文-18 解-抛物线截线垂直