2005-北京春文-18 解-抛物线截线垂直

本题导读

本题考查直线与抛物线的位置关系、韦达定理与两直线垂直。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(春文)） 如图，$O$ 为坐标原点，过点 $P(2,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交抛物线 $y^2=2x$ 于 $M(x_1,y_1)$、$N(x_2,y_2)$ 两点．

(1) 写出直线 $l$ 的截距式方程；

(2) 求 $x_1{x}_2$ 与 $y_1{y}_2$ 的值；

(3) 求证：$OM\perp ON$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直线方程 $y=k(x-2)$，即 $\frac{x}{2}-\frac{y}{2k}=1$（$k\ne 0$）。
2. 由 $y=k(x-2)$ 得 $x=2+\frac{y}{k}$，代入 $y^2=2x$ 得 $y^2-\frac{2}{k}y-4=0$，韦达定理 $y_1{y}_2=-4$；$x_i=\frac{y_i^2}{2}$ 得 $x_1{x}_2=4$。
3. $k_{OM}\cdot k_{ON}=\frac{2}{y_1}\cdot \frac{2}{y_2}=\frac{4}{-4}=-1$，垂直。

✅【答案】

Success

所以OM⟂ON

✍【详细解析】

Abstract

因为直线 $l$ 过 $P(2,0)$ 且斜率为 $k$，所以 $k\ne 0$，并且其方程为 $y=k(x-2)$． (1) 直线在 $x$ 轴上的截距为 $2$，在 $y$ 轴上的截距为 $-2k$，所以截距式方程为 $\frac{x}{2}-\frac{y}{2k}=1$． (2) 由直线方程得 $x=2+\frac{y}{k}$．代入抛物线方程，得 $y^2=2\left(2+\frac{y}{k}\right)$，即 $y^2-\frac{2}{k}y-4=0$．因此 $y_1,y_2$ 是此方程的两个根，由韦达定理得 $y_1{y}_2=-4$．又因 $x_i=\frac{y_i^2}{2}$，所以 $x_1{x}_2=\frac{y_1^2{y}_2^2}{4}=4$． (3) 直线 $OM$、$ON$ 的斜率分别为 $\frac{y_1}{x_1}=\frac{2}{y_1}$、$\frac{y_2}{x_2}=\frac{2}{y_2}$，它们的乘积为 $\frac{4}{y_1{y}_2}=-1$．所以 $OM\perp ON$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线截线垂直

核心方法：消 x 化 y 的二次方程，韦达定理收口

避坑指南：$x=2+\frac{y}{k}$ 代入 $y^2=2x$ 得 $y^2-\frac{2}{k}y-4=0$，$y_1{y}_2=-4$，$x_1{x}_2=4$；$k_{OM}{k}_{ON}=\frac{4}{y_1{y}_2}=-1$；别忘 $k\ne 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与抛物线的位置关系（人教 A 版选择性必修一）

结论推广：过 $x$ 轴上点 $(p,0)$ 的直线交 $y^2=2px$：$y_1{y}_2$、$x_1{x}_2$ 为定值

方法推广：抛物线问题消 $x$ 留 $y$ 常更简洁；垂直判定化为斜率乘积 $-1$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-22 解-抛物线切线
• 2018-全国卷I文-18 解-面面垂直