2003-大纲文-20 解-三角最值周期与图象

本题导读

本题考查三角函数的最值、周期与图象。核心在于降次并用辅助角公式化成正弦型函数，再五点作图。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；

(2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的图象.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=1-\cos 2x+\sin 2x$。
2. $f(x)=1+\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})$。
3. 周期 $\pi$，最大 $1+\sqrt{2}$；五点作图。

✅【答案】

Success

(1) 最小正周期 $\pi$，最大值 $1+\sqrt{2}$

(2) 图象见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=(1-\cos 2x)+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$.故最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，最大值为 $1+\sqrt{2}$. （2）图象经过点 $\left(-\frac{\pi }{2},2\right)$、$\left(-\frac{\pi }{4},0\right)$、$\left(-\frac{\pi }{8},1-\sqrt{2}\right)$、$(0,0)$、$\left(\frac{\pi }{4},2\right)$、$\left(\frac{3\pi }{8},1+\sqrt{2}\right)$、$\left(\frac{\pi }{2},2\right)$.又 $f^{\prime }(x)=2\cos 2x+2\sin 2x=2\sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，故 $f$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{8}\right]$ 递减、$\left[-\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}\right]$ 递增、$\left[\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2}\right]$ 递减。标出各点并按单调性用光滑曲线连接即得图象。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角最值周期与图象
2. 核心方法：（1）$f(x)=1-\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin (2x-\frac{\pi }{4})$，周期 $\pi$，最大 $1+\sqrt{2}$；（2）五点作图，$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 上先减后增再减
3. 避坑指南：$2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$，$2\sin x\cos x=\sin 2x$；辅助角合并；最大 $1+\sqrt{2}$（不是 $\sqrt{2}$）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角函数图象，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：降次+辅助角化 $A\sin (\omega x+\phi )+k$，五点作图；降次辅助角求周期最值，五点法画图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-18 解-四次齐次三角最值周期
• 2004-全国卷II文-11 单-四次齐次三角周期
• 2004-重庆文-17 解-三角最值周期与单调