2003-河南卷-17 解-三角化简求周期最值

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于降幂后辅助角合一求周期与最值。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知函数 $f(x)=2\sin x(\sin x+\cos x)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期和最大值；

(2) 在给出的直角坐标系中，画出函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上的图象.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开降幂：$2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=1-\cos 2x+\sin 2x$。
2. 辅助角合一：$1+\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，得周期与最值；五点法描图。

✅【答案】

Success

(1) 最小正周期为 $\pi$，最大值为 $1+\sqrt{2}$；(2) 图象见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=1-\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，故最小正周期 $T=\pi$，最大值为 $1+\sqrt{2}$. (2) 在区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 上，函数在 $\left[-\frac{\pi }{2},-\frac{\pi }{8}\right]$ 递减，在 $\left[-\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{8}\right]$ 递增，在 $\left[\frac{3\pi }{8},\frac{\pi }{2}\right]$ 递减。图象过 $\left(-\frac{\pi }{2},2\right)$，$\left(-\frac{\pi }{4},0\right)$，$\left(-\frac{\pi }{8},1-\sqrt{2}\right)$，$(0,0)$，$\left(\frac{3\pi }{8},1+\sqrt{2}\right)$，$\left(\frac{\pi }{2},2\right)$，按趋势光滑连接即可。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角化简求周期最值
2. 核心方法：$f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=1-\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$，周期 $\pi$，最大值 $1+\sqrt{2}$
3. 避坑指南：降幂后辅助角合一；图象按五点法描点

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材三角恒等变换
2. 结论推广: 一般地，乘积型三角式先降幂再合一；降幂、辅助角、五点法作图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-20 解-三角最值周期与图象
• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值
• 2008-天津文-17 解-三角降幂周期最值