2004-全国卷I文-18 解-四次齐次三角最值周期

本题导读

本题考查三角恒等变换与三角函数的性质。核心在于设元约分将分式化为一次正弦型函数。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(文)） 求函数 $f(x)=\frac{{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{2-\sin 2x}$ 的最小正周期、最大值和最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分子 $=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$。
2. 令 $u=\sin x\cos x$，$f(x)=\frac{1-u^2}{2(1-u)}=\frac{1+u}{2}$。
3. 即 $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x$，读出周期与最值。

✅【答案】

Success

最小正周期为 $\pi$，最大值为 $\frac{3}{4}$，最小值为 $\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

分子 $={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$，分母 $=2-2\sin x\cos x$.令 $u=\sin x\cos x$（$|u|⩽\frac{1}{2}$，故 $1-u>0$），则 $f(x)=\frac{1-u^2}{2(1-u)}=\frac{(1-u)(1+u)}{2(1-u)}=\frac{1+u}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$.所以最小正周期 $T=\pi$；当 $\sin 2x=1$ 时取最大值 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，当 $\sin 2x=-1$ 时取最小值 $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. （注：答案册印”最大 $\frac{4}{3}$、最小 $\frac{1}{3}$“系数值颠倒误排，期刊解析同算 $\frac{3}{4}$、$\frac{1}{4}$，按复算录入。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四次齐次三角最值周期
2. 核心方法：令 $u=\sin x\cos x$：$f(x)=\frac{1-u^2}{2(1-u)}=\frac{1+u}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x$，故周期 $\pi$、最大 $\frac{3}{4}$、最小 $\frac{1}{4}$
3. 避坑指南：分子 $=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=(1-u)(1+u)$ 与分母 $2(1-u)$ 约分（$1-u>0$ 恒成立）；答案册印”最大 $\frac{4}{3}$、最小 $\frac{1}{3}$“系颠倒误排，按复算 $\frac{3}{4}$、$\frac{1}{4}$ 录

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角恒等变换与三角函数性质，教材”三角恒等变换”与”三角函数的图象性质”
2. 结论推广: 一般化：${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x$；含 $\sin x\cos x$ 的分式可设 $u$ 约分化为一次式；先降幂合并，化同名同角后由正弦有界性求周期与最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2008-天津文-17 解-三角降幂周期最值
• 2005-北京春文-04 单-正弦型函数周期与最值
• 2006-山东文-18 解-三角降幂周期求和