2004-重庆文-05 单-积化和差求值

本题导读

本题考查积化和差公式，以及诱导公式的化简求值。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） $\sin 163^{\circ }\sin 223^{\circ }+\sin 253^{\circ }\sin 313^{\circ }=$()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin 163^{\circ }\sin 223^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ }-\cos 386^{\circ })$。
2. $\sin 253^{\circ }\sin 313^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ }-\cos 566^{\circ })$。
3. $\cos 386^{\circ }=\cos 26^{\circ }$，$\cos 566^{\circ }=-\cos 26^{\circ }$，相加得 $\frac{1}{2}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由积化和差公式，$\sin 163^{\circ }\sin 223^{\circ }=\frac{1}{2}\left[\cos (163^{\circ }-223^{\circ })-\cos (163^{\circ }+223^{\circ })\right]=\frac{1}{2}\left(\cos 60^{\circ }-\cos 386^{\circ }\right)$，$\sin 253^{\circ }\sin 313^{\circ }=\frac{1}{2}\left(\cos 60^{\circ }-\cos 566^{\circ }\right)$.又 $\cos 386^{\circ }=\cos 26^{\circ }$，$\cos 566^{\circ }=\cos (360^{\circ }+206^{\circ })=\cos 206^{\circ }=-\cos 26^{\circ }$，所以原式 $=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\cos 26^{\circ }\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\cos 26^{\circ }\right)=\frac{1}{2}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：积化和差求值
2. 核心方法：$\sin 163^{\circ }\sin 223^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ }-\cos 26^{\circ })$，$\sin 253^{\circ }\sin 313^{\circ }=\frac{1}{2}(\cos 60^{\circ }+\cos 26^{\circ })$，相加得 $\frac{1}{2}$
3. 避坑指南：积化和差 $\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$；$386^{\circ }$、$566^{\circ }$ 化到 $26^{\circ }$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于积化和差公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：$\sin \alpha \sin \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha -\beta )-\cos (\alpha +\beta )]$；积化和差，诱导公式化小角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.01 弧度制与扇形度量
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-06 单-同角三角函数与和角公式
• 2005-重庆卷文-02 单-积化和差求三角函数值
• 2004-全国卷I文-18 解-四次齐次三角最值周期