2004-全国卷II文-11 单-四次齐次三角周期

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及函数最小正周期的判定。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(文)） 函数 $y={\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x$ 的最小正周期为()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$。
2. 用 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=\frac{1-\cos 4x}{8}$ 再降一次。
3. 得 $\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$，读周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，${\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$.又 ${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{1-\cos 4x}{8}$，故原式 $=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$.$\cos 4x$ 的最小正周期为 $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：四次齐次三角周期
2. 核心方法：${\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$，最小正周期 $\frac{\pi }{2}$
3. 避坑指南：降幂后 $\cos 4x$ 的周期是 $\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$——别选 $\pi$；中间项 $-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 要用 ${\sin }^{2}2x=\frac{1-\cos 4x}{2}$ 再降一次

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角降幂公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：${\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$ 型两次降幂；高次化归用 ${\sin }^2=\frac{1-\cos }{2}$ 逐步降，最后读周期

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.04 三角平方差公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷I文-18 解-四次齐次三角最值周期
• 2006-山东文-18 解-三角降幂周期求和
• 2008-广东文-05 单-三角降幂判奇偶周期