2002-大纲文-17 解-正弦函数拟合温度

本题导读

本题考查正弦型函数的应用。核心在于由温度曲线确定振幅、周期等参数。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 如图，某地一天从 $6$ 时至 $14$ 时的温度变化曲线近似满足函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+b$.

(1) 求这段时间的最大温差；

(2) 写出这段时间的函数解析式.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由最高、最低温度定 $A$、$b$。
2. 由半个周期定 $\omega$，再由相位定 $\phi$。

✅【答案】

Success

(1) 最大温差 $20{}^{\circ }\mathrm{C}$

(2) $y=10\sin \left(\frac{\pi }{8}x+\frac{3\pi }{4}\right)+20$（$x\in [6,14]$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由图，最高温度 $30{}^{\circ }\mathrm{C}$、最低温度 $10{}^{\circ }\mathrm{C}$，最大温差为 $30-10=20{}^{\circ }\mathrm{C}$． (2) 振幅 $A=\frac{30-10}{2}=10$，中线 $b=\frac{30+10}{2}=20$．从 $x=6$ 的最低点到 $x=14$ 的最高点经历半个周期，故 $\frac{T}{2}=14-6=8$，$T=16$，$\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{8}$．取 $x=6$ 时正弦值为 $-1$，$\frac{\pi }{8}\times 6+\phi =\frac{3\pi }{2}$，可取 $\phi =\frac{3\pi }{4}$．故解析式为 $y=10\sin \left(\frac{\pi }{8}x+\frac{3\pi }{4}\right)+20$，$x\in [6,14]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦函数拟合温度

核心方法：$A=\frac{30-10}{2}=10$，$b=20$，$\frac{T}{2}=8$ 得 $\omega =\frac{\pi }{8}$，取 $x=6$ 时相位 $\frac{3\pi }{2}$ 得 $\phi =\frac{3\pi }{4}$

避坑指南：由最高最低定 $A,b$，由半个周期定 $\omega$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材正弦函数的应用

结论推广：一般地，$y=A\sin (\omega x+\phi )+b$ 由最高最低与周期定参

方法推广：定 $A,b,\omega ,\phi$ 四参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值
• 2003-大纲文-20 解-三角最值周期与图象
• 2008-天津文-17 解-三角降幂周期最值