2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于降幂与辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2006年陕西卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)+2{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)$（$x\in \mathbb{R}$）．

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求使函数 $f(x)$ 取得最大值的 $x$ 的集合.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $u=2x-\frac{\pi }{6}$，则 $2{\sin }^2(x-\frac{\pi }{12})=1-\cos (2x-\frac{\pi }{6})=1-\cos u$。
2. $f(x)=\sqrt{3}\sin u-\cos u+1=1+2\sin (u-\frac{\pi }{6})=1+2\sin (2x-\frac{\pi }{3})$。
3. 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
4. 最大时 $\sin (2x-\frac{\pi }{3})=1$，即 $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$。

✅【答案】

Success

(1) $\pi$

(2) $\left\{x|x=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）令 $u=2x-\frac{\pi }{6}$，则 $2{\sin }^2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)=1-\cos \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)=1-\cos u$，所以 $f(x)=\sqrt{3}\sin u-\cos u+1=1+2\sin \left(u-\frac{\pi }{6}\right)=1+2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right).$ 因此函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$．

（2）当且仅当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ 时，$f(x)$ 取得最大值，即 $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$ 解得 $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$，所以使函数取得最大值的 $x$ 的集合为 $\left\{x|x=\frac{5\pi }{12}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角与周期最值

核心方法：$2{\sin }^2(x-\frac{\pi }{12})=1-\cos (2x-\frac{\pi }{6})$，$f(x)=1+2\sin (2x-\frac{\pi }{3})$，$T=\pi$，最大时 $x=\frac{5\pi }{12}+k\pi$

避坑指南：降幂公式化同角；最大值时 $\sin (2x-\frac{\pi }{3})=1$，解 $2x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2k\pi$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 辅助角与降幂公式

结论推广: $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

方法推广: 降幂后合并为单一三角函数求周期最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

• 2008-北京文-15 解-三角降幂与值域
• 2009-重庆卷文-16 解-三角周期与单调
• 2011-重庆卷文-18 解-三角化简平移最值
• 2012-四川卷文-18 解-三角恒等变换与值域