2004-全国卷II理-11 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的周期性。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷II(理)） 函数 $y={\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x$ 的最小正周期为 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　C. $\pi$　　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ 和 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 将函数表达式化简，消除高次项。
2. 对化简后出现的二次项 ${\cos }^{2}2x$ 再次使用降幂公式。
3. 将原函数化为 $y=A\cos (\omega x)+B$ 的形式，依据 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 得出最小正周期。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

原函数 $y={\sin }^{4}x+{\cos }^{2}x$。 利用降幂公式展开： $y={\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)}^2+\frac{1+\cos 2x}{2}$ $=\frac{1-2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}+\frac{2+2\cos 2x}{4}$ $=\frac{3+{\cos }^{2}2x}{4}$ $=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}{\cos }^{2}2x$

再次利用降幂公式对 ${\cos }^{2}2x$ 降次： $y=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cdot \frac{1+\cos 4x}{2}$ $=\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$ $=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$

化简后函数形式为 $y=\frac{7}{8}+\frac{1}{8}\cos 4x$，其中 $\omega =4$。 所以该函数的最小正周期为 $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$。

对照选项，正确答案为 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的降幂公式、三角函数的周期公式。
2. 核心方法：公式变形化简法。
3. 避坑指南：对于含偶数次幂的三角函数求周期，首选降幂公式转化为一次式。运算中需仔细处理常数项和系数，避免代数计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 基础三角恒等变换与函数性质综合题。
2. 结论推广: 遇到形如 $f(x)=a{\sin }^{2}x+b{\cos }^{2}x+c\sin x\cos x$ 或更高偶次幂的组合，均可通过降幂扩角公式化归为 $y=A\sin (\omega x+\phi )+B$ 形式，从而求得周期、最值及单调区间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期
• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值
• 1977-重庆-03 解-三角化积