2006-湖北文-03 单-同角三角求值与符号

本题导读

本题考查同角三角函数，以及倍角公式。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 已知 $\sin 2\alpha =\frac{2}{3}$，$\alpha \in (0,\pi )$，则 $\sin \alpha +\cos \alpha =$()

A. $\frac{\sqrt{15}}{3}$　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{15}}{3}$　　　　　　C. $\frac{5}{3}$　　　　　　D. $-\frac{5}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha +2\sin \alpha \cos \alpha =1+\sin 2\alpha =\frac{5}{3}$。
2. $\sin 2\alpha =\frac{2}{3}>0$，由 $\alpha \in (0,\pi )$ 知 $2\alpha \in (0,\pi )$，故 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$，$\sin \alpha +\cos \alpha >0$。
3. 开方取正：$\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

$(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+2\sin \alpha \cos \alpha =1+\sin 2\alpha =1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$． 因为 $\sin 2\alpha =\frac{2}{3}>0$ 且 $\alpha \in (0,\pi )$，所以 $2\alpha \in (0,\pi )$，即 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，此时 $\sin \alpha >0,\cos \alpha >0$，$\sin \alpha +\cos \alpha >0$． 故 $\sin \alpha +\cos \alpha =\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角三角求值与符号

核心方法：由 $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+\sin 2\alpha =\frac{5}{3}$，且 $\alpha \in (0,\pi )$ 定正号

避坑指南：$\alpha \in (0,\pi )$ 且 $\sin 2\alpha >0$ 只能 $\alpha \in (0,\pi /2)$，故和为正取 $\sqrt{15}/3$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 同角三角求值，平方关系与倍角公式

结论推广: $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2=1+\sin 2\alpha$

方法推广: 平方后开方要定号，由角范围定符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-13 填-同角三角求值
• 2009-福建卷文-07 单-解三角形面积求角
• 2014-广东卷文-16 解-三角求值
• 2010-上海卷文-19 解-对数与三角化简