2003-河南卷-03 单-二倍角正切求值

本题导读

本题考查二倍角的正切公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2003年河南卷） 已知 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，$\cos x=\frac{4}{5}$，则 $\tan 2x=$()

A. $\frac{7}{24}$　　　　　　B. $-\frac{7}{24}$　　　　　　C. $\frac{24}{7}$　　　　　　D. $-\frac{24}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $x\in (-\frac{\pi }{2},0)$ 且 $\cos x=\frac{4}{5}$ 得 $\sin x=-\frac{3}{5}$，$\tan x=-\frac{3}{4}$。
2. 二倍角公式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 且 $\cos x=\frac{4}{5}$，得 $\sin x=-\frac{3}{5}$，故 $\tan x=-\frac{3}{4}$.所以 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=-\frac{24}{7}$，选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正切求值
2. 核心方法：$\cos x=\frac{4}{5}$ 且 $x\in (-\frac{\pi }{2},0)$ 得 $\tan x=-\frac{3}{4}$，二倍角得 $\tan 2x=-\frac{24}{7}$
3. 避坑指南：先由象限定 $\tan x$ 符号，再代入二倍角公式

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材二倍角公式
2. 结论推广: 一般地，$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$；由角的范围定函数值符号，再代公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2003-天津文-04 单-二倍角正切求值
• 2003-大纲文-02 单-二倍角正切求值
• 2006-湖北文-03 单-同角三角求值与符号