2002-北京卷文-13 填-三角函数大小比较

本题导读

本题考查三角函数值的大小比较，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） $\sin \frac{2\pi }{5}$，$\cos \frac{6\pi }{5}$，$\tan \frac{7\pi }{5}$ 从小到大的顺序是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断各值的符号。
2. 比较大小。

✅【答案】

Success

$\cos \frac{6\pi }{5}<\sin \frac{2\pi }{5}<\tan \frac{7\pi }{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$\cos \frac{6\pi }{5}=-\cos \frac{\pi }{5}<0$，$\sin \frac{2\pi }{5}>0$，$\tan \frac{7\pi }{5}=\tan \frac{2\pi }{5}=\frac{\sin \frac{2\pi }{5}}{\cos \frac{2\pi }{5}}>1>\sin \frac{2\pi }{5}$（因 $\cos \frac{2\pi }{5}\in (0,1)$）．故从小到大的顺序为 $\cos \frac{6\pi }{5}<\sin \frac{2\pi }{5}<\tan \frac{7\pi }{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数大小比较

核心方法：$\sin \frac{2\pi }{5}>0$，$\cos \frac{6\pi }{5}<0$，$\tan \frac{7\pi }{5}=\tan \frac{2\pi }{5}>1$，故 $\cos \frac{6\pi }{5}<\sin \frac{2\pi }{5}<\tan \frac{7\pi }{5}$

避坑指南：判断各三角函数值的符号与大小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2002 年北京卷文科第 13 题。这种”给三个值排顺序”的题型在 2000 年前后的北京卷、上海卷里很常见，属于送分题。

结论推广：这题的关键是”先分正负，再比大小”。$\cos \frac{6\pi }{5}=-\cos \frac{\pi }{5}<0$，直接排在最前；剩下两个都正，且 $\tan \frac{7\pi }{5}=\tan \frac{2\pi }{5}=\frac{\sin \frac{2\pi }{5}}{\cos \frac{2\pi }{5}}$，分母小于 $1$，所以它比 $\sin \frac{2\pi }{5}$ 大。一负两正，顺序不用细算就定了一半。

方法推广：排序题的通用次序——先看符号分档（负的必在正的之前），再看是否需要与 $0$、$1$、$-1$ 这几个”标尺”比，最后才在同一档内用单调性。跳过前两步直接估数值，是这类题最常见的失分方式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-03 单-同角三角求值与符号
• 2004-福建文-02 单-同角三角函数求值
• 2005-浙江卷文-15 解-二倍角与同角关系化简