2004-福建文-02 单-同角三角函数求值

本题导读

本题考查同角三角函数的关系，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） $\tan 15^{\circ }+\cot 15^{\circ }$ 的值是()

A. $2$　　　　　　　B. $2+\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\tan 15^{\circ }\cot 15^{\circ }=1$，原式 $=\frac{1}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}$。
2. 分母用二倍角：$\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}$。
3. 原式 $=4$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由同角关系 $\tan 15^{\circ }\cot 15^{\circ }=1$，得 $\tan 15^{\circ }+\cot 15^{\circ }=\frac{{\sin }^{2}15^{\circ }+{\cos }^{2}15^{\circ }}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{1}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}$.又 $\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 30^{\circ }=\frac{1}{4}$，所以原式 $=4$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数求值
2. 核心方法：$\tan 15^{\circ }\cot 15^{\circ }=1$，故原式 $=\frac{1}{\sin 15^{\circ }\cos 15^{\circ }}=\frac{2}{\sin 30^{\circ }}=4$
3. 避坑指南：互倒两数积为 $1$，和化为 $\frac{{\sin }^2+{\cos }^2}{\sin \cos }$；分母用二倍角 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于同角三角函数关系与二倍角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：$\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{2}{\sin 2\alpha }$；互倒化积为 1，和写成分式后用二倍角公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-福建文-04 单-同角三角函数求值
• 2007-大纲Ⅰ文-02 单-同角三角函数求值
• 2004-全国卷I文-06 单-同角三角函数与和角公式