2002-新课标文-14 填-二倍角求余切

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及二倍角公式的运用。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 已知 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$（$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$），则 $\cot \alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，原式化为 $2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha$。
2. $\sin \alpha >0$ 可约去，得 $\cos \alpha =-\frac{1}{2}$，再求 $\cot \alpha$。

✅【答案】

Success

$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 知 $\sin \alpha >0$．$\sin 2\alpha =-\sin \alpha$ 化为 $2\sin \alpha \cos \alpha =-\sin \alpha$，两边除以 $\sin \alpha$ 得 $2\cos \alpha =-1$，$\cos \alpha =-\frac{1}{2}$．又 $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角求余切

核心方法：由 $\sin 2\alpha =-\sin \alpha$ 且 $\sin \alpha >0$ 得 $2\cos \alpha =-1$，$\cos \alpha =-\frac{1}{2}$，又 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：约去 $\sin \alpha$ 前先确认其非零，注意象限定符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材同角三角函数关系

结论推广：一般地，由倍角关系约去公因式后求三角函数值

方法推广：先确认公因式非零，按象限定符号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-03 单-同角三角求值与符号
• 2004-福建文-02 单-同角三角函数求值
• 2005-浙江卷文-15 解-二倍角与同角关系化简