2005-浙江卷文-15 解-二倍角与同角关系化简

本题导读

本题考查三角函数的二倍角公式，以及同角平方关系的应用与角的范围限定。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 已知函数 $f(x)=2\sin x\cos x+\cos 2x$．

(1) 求 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 的值；

(2) 设 $\alpha \in (0,\pi )$，$f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\sin \alpha$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 化 $f(x)=\sin 2x+\cos 2x$ 后代入。 (2) 得 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$，代入 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 解方程，按 $\alpha \in (0,\pi )$ 取正根。

✅【答案】

Success

（1）$1$；（2）$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由二倍角公式，$f(x)=\sin 2x+\cos 2x$，所以 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{2}+\cos \frac{\pi }{2}=1$． (2) $f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}+\cos \alpha =\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}-\sin \alpha$．代入 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得 $2{\sin }^2\alpha -\sqrt{2}\sin \alpha -\frac{1}{2}=0$，解得 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ 或 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$．因为 $\alpha \in (0,\pi )$，所以 $\sin \alpha >0$，故 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角与同角关系化简

核心方法：化切为弦后用平方和关系

避坑指南：$f\left(\frac{\alpha }{2}\right)=\sin \alpha +\cos \alpha$，把 $\cos \alpha$ 用 $\sin \alpha$ 表示代入 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$；忘验 $\sin \alpha >0$ 会保留增根 $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：$\sin \alpha \pm \cos \alpha$ 与 $\sin \alpha \cos \alpha$ 通过平方和互相转化

方法推广：给值求值最后必须检验角的范围筛选增根，正弦型问题注意 $\alpha \in (0,\pi )$ 的符号约束

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-17 解-解三角形
• 2018-全国卷II文-07 单-余弦定理
• 2020-新课标I文-18 解-解三角形