2002-新课标文-18 解-二倍角三角求值

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于整体代换后因式分解求值。

📌【题干】

Question

（2002年新课标卷(文)） 已知 ${\sin }^{2}2\alpha +\sin 2\alpha \cos \alpha -\cos 2\alpha =1$（$\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$），求 $\sin \alpha$，$\tan \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $s=\sin \alpha ,c=\cos \alpha$，代入 $\sin 2\alpha =2sc$、$\cos 2\alpha =c^2-s^2$、$c^2=1-s^2$。
2. 化简因式分解，按 $0<s<1$ 取值。

✅【答案】

Success

$\sin \alpha =\frac{1}{2}$，$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

令 $s=\sin \alpha$，$c=\cos \alpha$，由 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 知 $0<s<1$，$c^2=1-s^2$．代入 $\sin 2\alpha =2sc$、$\cos 2\alpha =c^2-s^2$ 得 $4s^2{c}^2+2s{c}^2-(c^2-s^2)=1$，代入 $c^2=1-s^2$ 化简得 $2s^4+s^3-3s^2-s+1=0$，因式分解为 $(2s-1)(s-1)(s+1{)}^2=0$．由 $0<s<1$ 取 $s=\frac{1}{2}$，则 $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故 $\sin \alpha =\frac{1}{2}$，$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角三角求值

核心方法：令 $s=\sin \alpha ,c=\cos \alpha$，代入倍角公式化得 $(2s-1)(s-1)(s+1{)}^2=0$，取 $s=\frac{1}{2}$，$c=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$

避坑指南：整体代换后因式分解，按 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{2})$ 取舍

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材三角恒等变换

结论推广：一般地，整体代换后因式分解求三角函数值

方法推广：令 $s=\sin \alpha ,c=\cos \alpha$ 化方程组

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-18 解-二倍角化简求值
• 2004-全国卷IV文-17 解-和角与二倍角求值
• 2005-浙江卷文-15 解-二倍角与同角关系化简