2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程

本题导读

本题考查圆的方程与点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 圆心为 $(1,2)$ 且与直线 $5x-12y-7=0$ 相切的圆的方程为$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 半径等于圆心到切线的距离。
2. $r=\frac{|5\times 1-12\times 2-7|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{26}{13}=2$。
3. 圆方程 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=r^2=4$。

✅【答案】

Success

$(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$

✍【详细解析】

Abstract

圆心 $O(1,2)$ 到直线 $5x-12y-7=0$ 的距离即半径 $r=\frac{|5\times 1-12\times 2-7|}{\sqrt{5^2+(-12{)}^2}}=\frac{26}{13}=2$． 故所求圆的方程为 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线距离求圆方程

核心方法：半径 $r=\frac{|5\times 1-12\times 2-7|}{\sqrt{5^2+12^2}}=\frac{26}{13}=2$，圆 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$

避坑指南：点到直线距离公式分子取绝对值；$26/13=2$，圆方程右边是 $r^2=4$ 不是 $2$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线距离求圆的方程

结论推广：半径 $=$ 圆心到切线距离

方法推广：距离公式算 $r$ 后写 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-10 单-直线与圆公共点
• 2008-新课标Ⅰ文-22 解-圆切线圆幂定理