2001-大纲文-02 单-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及圆心位置的确定。

📌【题干】

Question

（2001年大纲卷(文)） 过点 $A(1,-1)$，$B(-1,1)$ 且圆心在直线 $x+y-2=0$ 上的圆的方程是()

A. $(x-3{)}^2+(y+1{)}^2=4$　　　　　　　　　　　　B. $(x+3{)}^2+(y-1{)}^2=4$

C. $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$　　　　　　　　　　　　D. $(x+1{)}^2+(y+1{)}^2=4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆心在 $AB$ 的垂直平分线 $y=x$ 上。
2. 与 $x+y-2=0$ 联立得圆心 $(1,1)$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设圆心为 $O(u,v)$，由 $OA=OB$ 得 $(u-1{)}^2+(v+1{)}^2=(u+1{)}^2+(v-1{)}^2$，化简得 $u=v$．又圆心在直线 $x+y-2=0$ 上，故 $u+v=2$，联立得 $u=v=1$，圆心 $(1,1)$．半径 $r=OA=\sqrt{(1-1{)}^2+(-1-1{)}^2}=2$，圆方程为 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$，选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程

核心方法：设圆心 $O(u,v)$，由 $OA=OB$ 得 $u=v$，又 $u+v=2$，故 $O(1,1)$，半径 $r=2$，圆方程 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=4$

避坑指南：圆心在垂直平分线上

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材圆的标准方程

结论推广：一般地，圆心在弦的垂直平分线上

方法推广：圆心在垂直平分线上定圆心

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2001-新课标卷文-03 单-圆的方程
• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程
• 2002-北京卷文-02 单-圆上两点距离