2003-上海文-04 填-点到直线最短距离

本题导读

本题考查点到直线的距离，以及线段最短的几何条件。

📌【题干】

Question

（2003年上海卷(文)） 已知定点 $A(0,1)$，点 $B$ 在直线 $x+y=0$ 上运动，当线段 $AB$ 最短时，点 $B$ 的坐标是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $B(x,-x)$，$|AB{|}^2=x^2+(x+1{)}^2$。
2. 配方求最小，得 $x$ 值。

✅【答案】

Success

$\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

设 $B(x,-x)$，则 $|AB{|}^2=x^2+(x+1{)}^2=2x^2+2x+1=2{\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}$，当 $x=-\frac{1}{2}$ 时最小，此时 $B\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线最短距离
2. 核心方法：设 $B(x,-x)$，$|AB{|}^2=x^2+(x+1{)}^2$，当 $x=-\frac{1}{2}$ 时最小，$B(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
3. 避坑指南：点在直线上设参数，距离平方求最小

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于教材点到直线距离
2. 结论推广: 一般地，直线上的点到定点距离最值用参数式或距离公式；设直线上动点参数，距离平方求最小

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-09 单-点到直线距离
• 2004-重庆文-03 单-点到直线距离
• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程