2003-大纲文-09 单-点到直线距离

本题导读

本题考查点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2003年大纲卷(文)） 已知点 $(a,2)$（$a>0$）到直线 $l:x-y+3=0$ 的距离为 $1$，则 $a=$()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　B. $2-\sqrt{2}$　　　　　　C. $\sqrt{2}-1$　　　　　　D. $\sqrt{2}+1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 点线距 $\frac{|a-2+3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=1$。
2. 即 $\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}=1$。
3. $a>0$，$a+1>0$，$a+1=\sqrt{2}$，$a=\sqrt{2}-1$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由点到直线的距离公式 $\frac{|a-2+3|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=1$，即 $\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}=1$.因 $a>0$，故 $a+1>0$，去绝对值得 $a+1=\sqrt{2}$，$a=\sqrt{2}-1$，选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离
2. 核心方法：$\frac{|a-2+3|}{\sqrt{2}}=1$ 即 $\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}=1$，$a>0$ 得 $a+1=\sqrt{2}$，$a=\sqrt{2}-1$
3. 避坑指南：点线距分子带绝对值；$a>0$ 时 $a+1>0$ 去绝对值；勿漏 $\sqrt{2}$ 分母

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于点到直线的距离，教材”直线与方程”
2. 结论推广: 一般化：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；代入公式，注意参数符号去绝对值

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.02 直线方程的形式与直线系

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷III文-16 填-点到直线的距离
• 2004-重庆文-03 单-点到直线距离
• 2005-浙江卷文-03 单-点到直线的距离公式