2002-大纲文-21 解-距离比直线方程

本题导读

本题考查点到直线的距离与轨迹。核心在于距离比与距离条件联立。

📌【题干】

Question

（2002年大纲卷(文)） 已知点 $P$ 到两定点 $M(-1,0)$、$N(1,0)$ 距离的比为 $\sqrt{2}$，点 $N$ 到直线 $PM$ 的距离为 $1$，求直线 $PN$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $PM$ 斜率 $k$，由 $N$ 到 $PM$ 距离定 $k$。
2. 距离比 $\sqrt{2}$ 与 $y^2=\frac{(x+1{)}^2}{3}$ 联立求 $P$。

✅【答案】

Success

直线 $PN$ 的方程为 $y=x-1$ 或 $y=-x+1$

✍【详细解析】

Abstract

设 $PM$ 斜率为 $k$，方程为 $y=k(x+1)$，点 $N(1,0)$ 到它的距离为 $\frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得 $k^2=\frac{1}{3}$．由 $PM=\sqrt{2}PN$ 得 $(x+1{)}^2+y^2=2[(x-1{)}^2+y^2]$，即 $x^2+y^2-6x+1=0$．代入 $y^2=\frac{(x+1{)}^2}{3}$ 得 $x^2-4x+1=0$，$x=2\pm \sqrt{3}$，此时 $|y|=|x-1|$，故直线 $PN$ 的斜率为 $\pm 1$，又过 $N(1,0)$，方程为 $y=x-1$ 或 $y=-x+1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：距离比直线方程

核心方法：$PM$ 斜率 $k$，$N$ 到 $PM$ 距离 $\frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$ 得 $k^2=\frac{1}{3}$；距离比 $\sqrt{2}$ 与 $y^2=\frac{(x+1{)}^2}{3}$ 联立得 $x=2\pm \sqrt{3}$，直线 $PN$ 斜率 $\pm 1$

避坑指南：点到直线距离 + 距离比列方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材点到直线距离

结论推广：一般地，距离比条件化为轨迹方程

方法推广：距离公式 + 轨迹联立

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-09 单-点到直线距离
• 2004-重庆文-03 单-点到直线距离
• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程