2002-北京卷文-06 单-直线交点倾斜角

本题导读

本题考查直线的倾斜角，以及直线交点所在象限的判断。

📌【题干】

Question

（2002年北京卷(文)） 若直线 $l:y=kx-\sqrt{3}$ 与直线 $2x+3y-6=0$ 的交点位于第一象限，则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是()

A. $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{3}\right)$　　　　　B. $\left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$　　　　　C. $\left(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{2}\right)$　　　　　D. $\left[\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立求交点坐标。
2. 交点在第一象限列 $x>0,y>0$ 求 $k$ 范围。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

联立 $y=kx-\sqrt{3}$ 与 $2x+3y-6=0$ 得 $x=\frac{6+3\sqrt{3}}{2+3k}$，$y=\frac{6k-2\sqrt{3}}{2+3k}$．交点在第一象限需 $x>0$ 且 $y>0$，即 $2+3k>0$ 且 $6k-2\sqrt{3}>0$，得 $k>\frac{\sqrt{3}}{3}$，倾斜角 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线交点倾斜角

核心方法：交点 $\left(\frac{3\sqrt{3}+6}{3k+2},\cdots \right)$ 在第一象限定 $k>\frac{\sqrt{3}}{3}$，倾斜角 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2}\right)$

避坑指南：交点坐标为正列不等式求 $k$ 范围

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材直线的倾斜角

结论推广：一般地，交点象限条件化为斜率范围

方法推广：交点坐标为正列不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2003-大纲文-09 单-点到直线距离
• 2004-重庆文-03 单-点到直线距离
• 2005-全国卷II文-14 填-点到直线距离求圆方程