2004-重庆文-03 单-点到直线距离

本题导读

本题考查圆的标准方程与点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 圆 $x^2+y^2-2x+4y+3=0$ 的圆心到直线 $x-y=1$ 的距离为()

A. $2$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方得 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=2$，圆心 $(1,-2)$。
2. 直线化为 $x-y-1=0$。
3. $d=\frac{|1-(-2)-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，选 D。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方得 $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=2$，故圆心为 $C(1,-2)$.直线 $x-y=1$ 即 $x-y-1=0$，圆心到该直线的距离为 $\frac{|1-(-2)-1|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离
2. 核心方法：圆心 $(1,-2)$ 到直线 $x-y-1=0$ 距离 $\frac{|1-(-2)-1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
3. 避坑指南：配方得圆心 $(1,-2)$；点线距公式分子带绝对值，分母 $\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于点到直线的距离，教材”直线与方程”
2. 结论推广: 一般化：$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；配方求圆心，点线距公式求距离

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.02 阿波罗尼斯圆

类题演练 (Links)

• 2007-安徽文-05 单-圆心到直线距离
• 2010-上海卷文-07 填-圆心到直线距离
• 2004-天津文-07 单-直线与圆的位置关系