2004-浙江文-19 解-空间线面垂直

本题导读

本题考查空间中直线与平面的平行、垂直关系，以及二面角的求法。核心在于建立空间直角坐标系，用向量法依次证明平行、垂直，并以法向量夹角求二面角。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 如图，已知正方形 $ABCD$ 和矩形 $ACEF$ 所在的平面互相垂直，$AB=\sqrt{2}$，$AF=1$，$M$ 是线段 $EF$ 的中点.

(1) 求证：$AM\parallel$ 平面 $BDE$；

(2) 求证：$AM\perp$ 平面 $BDF$；

(3) 求二面角 $A-DF-B$ 的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $A(0,0,0),B(\sqrt{2},0,0),C(\sqrt{2},\sqrt{2},0),D(0,\sqrt{2},0),E(\sqrt{2},\sqrt{2},1),F(0,0,1)$，$M(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$。
2. 平面 $BDE$ 法向量 $(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$，$\overrightarrow{AM}\cdot (\sqrt{2},\sqrt{2},-2)=0$ 且 $A$ 不在面内，$AM\parallel$ 面 $BDE$。
3. 平面 $BDF$ 法向量 $(\sqrt{2},\sqrt{2},2)=2\overrightarrow{AM}$，$AM\perp$ 面 $BDF$；二面角余弦 $\frac{1}{2}$，角 $\frac{\pi }{3}$。

✅【答案】

Success

(1) (2) 证明见解析

(3) 二面角 $A-DF-B$ 的大小为 $\frac{\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

取空间直角坐标系，使正方形所在平面为 $z=0$，并设 $A=(0,0,0)$，$B=(\sqrt{2},0,0)$，$C=(\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$D=(0,\sqrt{2},0)$.由于矩形 $ACEF$ 与正方形所在平面垂直，且 $AF=1$，可取 $E=(\sqrt{2},\sqrt{2},1)$，$F=(0,0,1)$，从而 $M=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$. （1）$\overrightarrow{AM}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$.平面 $BDE$ 内的两条相交直线可取 $BD$、$BE$，其方向向量为 $\overrightarrow{BD}=(-\sqrt{2},\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{BE}=(0,\sqrt{2},1)$，因而平面 $BDE$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BE}=(\sqrt{2},\sqrt{2},-2)$.计算得 $\overrightarrow{AM}\cdot (\sqrt{2},\sqrt{2},-2)=1+1-2=0$，又 $(A-B)\cdot (\sqrt{2},\sqrt{2},-2)=-2\ne 0$，所以 $A$ 不在平面 $BDE$ 内，故 $AM\parallel$ 平面 $BDE$. （2）平面 $BDF$ 内的两条相交直线可取 $BD$、$BF$，其中 $\overrightarrow{BF}=(-\sqrt{2},0,1)$，因而平面 $BDF$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BF}=(\sqrt{2},\sqrt{2},2)=2\overrightarrow{AM}$，所以 $AM\perp$ 平面 $BDF$. （3）平面 $ADF$ 的一个法向量为 $(1,0,0)$，平面 $BDF$ 的一个法向量为 $(\sqrt{2},\sqrt{2},2)$，设二面角 $A-DF-B$ 为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{|(1,0,0)\cdot (\sqrt{2},\sqrt{2},2)|}{1\cdot \sqrt{2+2+4}}=\frac{1}{2}$，因而 $\theta =\frac{\pi }{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间线面垂直
2. 核心方法：建系 $A(0,0,0),B(\sqrt{2},0,0),C(\sqrt{2},\sqrt{2},0),D(0,\sqrt{2},0),E(\sqrt{2},\sqrt{2},1),F(0,0,1)$，$M(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},1)$；（1）$\overrightarrow{AM}\cdot (\sqrt{2},\sqrt{2},-2)=0$ 且 $A\notin$ 平面 $BDE$，$AM\parallel$ 平面 $BDE$；（2）平面 $BDF$ 法向量 $=2\overrightarrow{AM}$，$AM\perp$ 平面 $BDF$；（3）二面角余弦 $\frac{1}{2}$，角 $\frac{\pi }{3}$
3. 避坑指南：正方体与矩形平面垂直，用 $z=0$ 放正方形、$AF$ 作高建系；证线面平行须”垂直法向量且不在面内”；二面角用两平面法向量夹角

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于空间线面平行与垂直，教材”空间点线面”
2. 结论推广: 一般化：线面平行 $⟺$ 方向向量与法向量垂直且线不在面内；二面角用两法向量；建系用向量法证平行、垂直，二面角用法向量夹角

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2007-浙江文-20 解-线面垂直与线面角
• 2005-全国卷II文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角
• 2007-大纲Ⅰ文-19 解-线面垂直与线面角